2  初等模型

• 研究对象的机理比较简单

• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的

• 可以利用初等数学方法来构造和求解模型

• 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎

• 尽量采用简单的数学工具来建模

2.1  光盘的数据容量

背景和问题：

• 20世纪80年代出现激光唱片(CD)与激光视盘(LD), 统称光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等. 

• 20世纪90年代出现数字视频光盘(DVD). 

• 21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体, 带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展. 

• CD的数据容量: 单层650MB(兆字节)

  DVD的数据容量: 单层4.7GB(千兆字节)

• 从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化.

问题分析：

• 当盘片上环形区域面积一定时，数据容量的大小取决于信道的总长度与信道上存储数据的线密度. 

• 决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长，和驱动光盘的机械形式.

激光波长：

• 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息，必须精确地聚焦. 

• 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑. 

• 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，而光斑的大小与激光波长成正比.

             

驱动光盘的机械形式：

• 恒定角速度(CAV)

  每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息

  容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数 

• 恒定线速度(CLV )

  各圈螺旋线上数据的线密度不变 

  容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度 

  从光盘的容量比较，CLV优于CAV. 

• 数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要. 

模型建立：

• CLV光盘：

• 数据容量：，ρ~线密度, LCLV~信道总长度，

   R1~光盘环形区域内圆半径, R2~外圆半径, d ~信道间距

• 其他方法建模：

  环形区域面积/信道间距：

  
  

  同心圆平均周长*总圈数：

• CAV光盘：

  
  

  数据容量：，r ~线密度, LCAV ~信道有效长度

  螺旋线最内圈的长度近似为2pR1, 总圈数可视为，

• 当线密度r、信道间距d和外径R2给定后，可选择环形区域的内圆半径R1，使数据容量最大.

模型求解： 

• CLV(恒定线速度)光盘

     R2=58 mm , R1=22.5 mm ， 

• CD信道长度在5km以上，容量约680 MB; DVD容量在GB量级. 

• 影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算.

• CAV(恒定角速度)光盘：

        （R1=R2/2时LCAV最大）

• 即使在内圆半径的最佳选择下，CAV光盘的信息容量也小于CLV光盘.