5.4  捕鱼业的持续收获

背景

• 可再生资源（渔业、林业等）与非可再生资源（矿业等）.

• 可再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益.

问题及分析

• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.

1.建立捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件.

2.在鱼量稳定的条件下，如何控制捕捞使持续产量最大或经济效益最佳? 捕捞过渡？

产量模型  设x(t)～渔场鱼量

假设  

• 无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律. r～固有增长率, N～最大鱼量

• 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.

  h(x)= Ex, E～捕捞强度

建模  

• ，有捕捞情况下渔场鱼量满足

• 不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件.

• 一阶微分方程的平衡点及其稳定性

产量模型

• 令，平衡点

• 稳定性判断

  当 Þ

  当 Þ

  E～捕捞强度，r～固有增长率

• x0稳定,可得到稳定产量；x1稳定,渔场干枯

• 分析表明：只要捕捞适度（)，就可使渔场鱼量稳定在x0，从而获得持续产量 h(x0)=Ex0.

• 进一步讨论，在鱼量稳定在x0的条件下，如何控制捕捞强度E使持续产量最大？

图解法

• P的横坐标x0～平衡点，P的纵坐标h～产量

• 产量最大，

结论

• 捕捞率控制在固有增长率r的一半，或者控制渔场鱼量为最大鱼量N的一半时，获得最大产量.

效益模型

• 在鱼量稳定在x0的条件下，如何控制捕捞强度E使效益最大？

假设

• 鱼销售价格p，单位捕捞强度费用c

  收入 T =ph(x)= pEx，支出 S =cE

• 单位时间利润，

  以稳定平衡点代入得

  

• 求E使R(E)最大 Þ

• 最大利润下渔场稳定鱼量

• 单位时间的持续产量

捕捞过度

• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大，此时
  

• 开放式捕捞只求利润R(E)>0

  

  令=0,

• R(E)=0时的捕捞强度Es= 2ER ～临界强度

• 临界强度下的渔场鱼量

• xs由成本—价格比决定   Þ 

• 捕捞过度～图解法

• 

  ～经济学捕捞过度

• 

  ～生态学捕捞过度

小结

• 在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.

• 用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.

课后扩展阅读：