6 差分方程与代数方程模型
差分方程～若干离散点上未知变量数值的方程。
描述离散时间段上客观对象的动态变化过程。
现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似。
差分方程与代数方程都是离散模型的数学表述，二者有着类似的向量-矩阵表达形式，求解过程也存在相互联系。
6.1 贷款购房
背景和问题：
贷款购房需考虑的问题：
买多大的房子？一共贷多少钱？每月还多少钱？
网上的房贷计算器用于计算用户在申请贷款的情况下，根据选择不同按揭贷款方式，分为等额本金和等额本息两种方式，每月月供、利息总额、还贷总额的差异清晰得知。
了解其计算原理，对结果数量分析
贷款购房——最简单的差分方程模型
单利和复利：
两种计算利息的基本方式
单利～1万元存5年定期,年利率4.75%,到期后本息(本金加利息)：
复利～1万元存1年定期,年利率为3%,到期不取则自动转存,5年后本息：
单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利：
单利本息：1+nr
复利本息：
利滚利！
按单利计算的业务——零存整取
零存整取～每月固定存额，约定存款期限，到期一次支取本息的定期储蓄。
方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年。
例：每月存入3000元，存期5 年（年利率3.5%）
用零存整取计算器算得：累计存入金额180,000元，到期本息总额196,012.50元。——勤俭节约、科学理财！
建模计算：a～每月存入金额,r～月利率,n～存期(月)，xk～存入k个月后的本息
x1=a+ar，x2=x1+a+a2r,...,xk= xk-1+a+akr,k＝2,3,…,n
k=n递推至k=1,得
a =3000, r=0.035/12, n=12×5(月) 
xn=196,012.50
等额本息贷款和等额本金贷款：
房贷计算器的选项：
贷款类别：商业贷款,公积金,组合型。年利率不同
计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算
按揭年数：可选1至30年。选择20年
银行利率：基准利率、利率上限或下限。选择商业贷款的基准利率6.55%.
还款方式：等额本息还款或等额本金还款。
等额本息还款～每月归还本息(本金加利息)数额相同。
等额本息还款：把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中。作为还款人，每个月还给银行固定金额，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。
等额本金还款～每月归还本金数额相同, 加上所欠本金的利息。所欠本金逐月减少，每月还款金额递减。
等额本金还款：将本金分摊到每个月内,同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。这种还款方式相对等额本息而言,总的利息支出较低,但是前期支付的本金和利息较多,还款负担逐月递减。
例1“房贷计算器”选择等额本息还款, 输入: 商业贷款总额100万元, 期限20年, 年利率6.55%.点击“开始计算”得:还款总额1796447.27元, 月均还款7485.2元.建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型：x0～贷款总额，r～月利率，n～贷款期限(月)，xk～第k月还款后尚欠金额，a～每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息-还款金额
，k=n递推至k=1
贷款到期时xn=0
A1～还款总额，
例1中x0=100(万元), r=0.0655/12,n=12×20=240(月)
a=7485.2(元), A1=1796447.27(元)——与房贷计算器给出的相同
例2“房贷计算器”选择等额本金还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.点击“开始计算”得到:还款总额1657729.17元, 每月还款金额由第1月的9625元逐月递减,最后1月为4189.41元.建立等额本金还款方式的数学模型, 并作数值计算.
等额本金还款模型：x0 ～贷款总额，r～月利率，n～贷款期限(月)，每月归还本金x0/n
第1月还款金额
还款金额逐月减少归还本金x0/n所产生的利息x0r/n
xk～第k月还款金额
，k=n递推至k=2
A2～还款总额，
例2中x0=100(万元), r=0.0655/12,n=12×20=240(月)
x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
——与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较：
等额本息方式简单，便于安排收支.
等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式, 后期低于等额本息方式, 适合当前收入较高人群.
等额本息方式还款总额大于等额本金方式.
等额本息方式前期还款额较少, 所欠本息的利息逐月归还, 所以利息总额较大.还款总额 A1>A2
例1，例2：A1=1796447.27(元), A2=1657729.17(元).
小结与评注：
贷款购房两种基本还款方式：等额本息、等额本金.
要点:明确利息计算, 列出差分方程, 利用递推关系.
模型适用于任何还款周期（半月、一季度等）——将公布的年利率折换为一个还款周期的利率.
不同还款周期一次还款金额和还款总额都不一样.
周期越短还款总额越小？
