统计数据                           

学习MATLAB有关数据统计、随机变量分布和统计作图的指令，学会用MATLAB求解概率统计问题以及相关操作．

1　学习MATLAB命令

1.1　数据描述

MATLAB的统计工具箱(statistics toolbox)提供了许多统计计算的程序，用于数据描述的常用命令(实际上，求均值、标准差等的命令在MATLAB中而不在统计工具箱中)．

设X为向量或矩阵．

 求均值命令是mean(X)，当X为向量时，返回向量的均值；当X为矩阵时，返回由矩阵每一列的均值构成的行向量(这里的均值、方差等都是指样本均值、样本方差等)．

求中位数的命令是median(X)；

求标准差的命令是std(X)；

求方差的命令是var(X)；

求极差的命令是range(X)；

求偏度的命令是skewness(X)；

求峰度的命令是kurtosis(X)；

求元素之和的命令是sum(X)，求元素累积和的命令是cumsum(X)；

求元素之积的命令是prod(X)，求元素累积积的命令是cumprod(X)；

对数组排序的命令是sort，其格式为：

[Y，I]＝sort(X)，当X为向量，Y返回X的升序排列，I返回Y对应的X各元素原来的编址，即Y＝X(I)；当X为矩阵，分别对各列排序；

求数组的上分位数命令是prctile，其格式为：

Y＝prctile(X，p)，当X为向量，Y返回X的上p%分位数；当X为矩阵，分别返回各列的上p%分位数；

命令trimmean(X，p)是求X在剔除上下各(p/2)%数据以后的均值；

设X，Y为向量，求X的样本协方差命令是cov(X，Y)；

设X为矩阵，求X的样本协方差矩阵命令是cov(X)；

命令corrcoef用法与cov类似，得到的是相关系数；

命令moment(X，n)返回X的n阶中心矩；当X为矩阵，返回矩阵每列元素的n阶中心矩．

在sort，median,std, var range，skewness, kurtosis, min, max，sum，prod,cumsum，cumprod等命令中，当X为矩阵时，返回结果的解释与mean类似，即返回X的每一列的相应统计计算结果．

例如，同一车间的三台机器所轧的薄板厚度分别是：

机器1：0.2360.2380.2480.2450.243

机器2：0.2570.2530.2550.2540.261

机器3：0.2580.2640.2590.2670.262

输入：

data＝[0.2360.2380.2480.2450.243；0.2570.2530.2550.2540.261; 0.2580.2640.2590.2670.262]；

data＝data'；

mean(data)

median(data)%注意mean，median的区别

输出为：

ans＝

0．24200.25600.2620

ans＝

0．24300.25500.2620

输入：

std(data)，sqrt(var (data))%var是std的平方

输出为：

ans＝

0．00490.00320.0037

ans＝

0．0049    0.0032   0.0037

输入：

sum(data)，cumsum(data)%注意sum和cumsum的区别

输出为：

ans＝

1．21001.28001.3100

ans＝

0．23600.25700.2580

0．47400.51000.5220

0．72200.76500.7810

0．96701.01901.0480

1．21001.28001.3100

输入：

corrcoef(data)%将三列看成三个随机变量，得相关系数矩阵

输出为：

ans＝

1.0000　－0.01600.1787

　－0.01601.0000　－0.3658

0.1787　－0.36581.0000

输入：

[Y，I]＝sort (data)%排序

输出为：

Y＝

0．23600.25300.2580

0．23800.25400.2590

0．24300.25500.2620

0．24500.25700.2640

0．24800.26100.2670

I＝

121

243

535

412

354

输入：

prctile (data，[25  50] )%prctile (data，50)等于median(data)

输出为：

ans＝

0.23750.25380.2588%返回25%上分位数

0.24300.25500.2620%返回50%上分位数

输入：

trimmean(data，20)%注意与mean的区别

输出为：

ans＝

0.24200.25600.2620

1.2　常用概率分布

MATLAB统计工具箱提供20种概率分布，我们介绍8种常见分布的MATLAB命令，见表17.1.

表17.1       

　　对每一种分布提供5类运算功能，采用表17.2所示的字符．

表17.2

　　当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令，我们来举例说明．

(1)概率函数

输入：

y＝normpdf(2.5，2，3)%N(2，9)，在x＝2.5处的概率密度(标准正态的μ，σ²可省略)

输出为：

y＝0.1311

输入：

y＝binopdf(3：7，10，0.3)%二项分布B(10，0.3)，k＝3，4，5，6，7的概率

输出为：

y＝0.26680.20010.10290.03680.0090

(2)分布函数

输入：

y＝normcdf([－1 0  1.5]，0，2)%N(0，2²)，x＝－1，0，1.5处的分布函数

输出为：

y＝

0．30850.50000.7734

输入：

y＝fcdf(1，10，50)%F(10，50)在x＝1处的分布函数

输出为：

y＝0.5436

(3)逆概率函数

逆概率函数是分布函数F(x)的反函数，即给定概率α，求满足α＝F(x_α)＝∫x_α－∞p(x)dx的x_α，也称x_α为该分布的下α分位数．

输入：

 y＝norminv(0.7724，0，2)%N(0，2²)的0.7724下分位数

输出为：

 y＝1.4935

输入：

  y＝tinv([0.3，0.999]，10)%t (10)的0.3，0.999下分位数

输出为：

 y＝－0.54154.1437

(4)期望与方差

输入：

 [m，v]normstat(1，4)%计算N(1，4²)的期望和方差

输出为：

m＝1v＝16

输入：

 [m，v]＝fstat(3，5)%计算F(3，5)的期望和方差

输出为：

 m＝1.6667v＝11.1111

1.3　随机数

常用的生成随机数的命令及格式有：

rand(m，n)%生成(0，1)上均匀分布的m行n列随机数矩阵

randn(m，n)  %生成标准正态分布N(0，1)的m行n列随机数矩阵

randperm(N)  %生成1，2，…，N的一个随机排列

random(dist，p1，p2，…，N)  %生成以pl，p2，…为参数的m行n列dist类分布随机数矩阵，dist是表示分布类型的字符串

unidrnd(N，m，n)  %生成1，2，…，N的等概率m行n列随机数矩阵

binornd(k，p，m，n)  %生成参数为k，p的m行n列二项分布随机数矩阵

unifrnd(a，b，m，n)  %生成[a，b]区间上连续型均匀分布m行n列随机数矩阵

normrnd (mu，sigma，m，n)  %生成均值为mu，均方差为sigma的m行n列正态分布随机数矩阵

mvnrnd(mu，sigma，m)  %生成n维正态分布数据，这里mu为n维均值向量，sigma为n阶协方差矩阵，输出为m×n矩阵，每行代表一个n维正态分布随机数

通常随机数生成函数random可适用的分布类型包括：′Discrete Uniform′(离散均匀分布)，′Binomial′(二项分布)，′Uniform′(均匀分布)，′Normal′(正态分布)，′Poisson′(泊松分布)，′Chisquare′(χ²分布)，′t′(t分布)，′f′(F分布)，′Geometric，′(几何分布)，′Hypergeometric′(超几何分布)，′Exponential′(指数分布)，′Gamma′(Γ分布)，′Weibull′(Weibull分布)等．

例如：

random('Binomial'，10，0.5，1，10)%生成1行10列服从B (10, 0.5)分布的随机数

random('Uniform'，1，3，2，6)  %生成2行6列服从U[1，3]分布的随机数

unidrnd (20，1，8)  %生成1行8列服从1～20均匀分布的随机数

binornd (10，0.5，1，10)  %同random('Binomial'，10，0.5，1，10)

normrnd (－5，6，1，10)  %生成1行10列服从N(－5，6²)的随机数

mvnrnd([0；0]＋[1，0.9；0.9，1]，10);  %生成10个服从N(0，0，1，1，0.9)的二维正态随机数

1.4　统计图

常用的统计作图命令及格式有：

bar(X)%作向量Y的条形图

hist(X，k)  %将向量X中数据等分为k组，并作频数直方图，k的缺省值为10

bar(Y，X)  %作向量Y相对于X的条形图

[N，X]＝hist(Y，k)  %不作图，N返回各组数据频数，X返回各组的中心位置

boxplot(Y)  %作向量Y的箱形图

例如，输入：

v＝randn(1，100);  %100个标准正态分布随机数

subplot(1，3，1)；hist(v，5);  %作出5组频数直方图，见图(a)

[n，x]＝hist(v，5)

输出为：

 n＝

102640222%各组频数

x＝

　　　－1.6232　－0.66210.29911.26022.2213  %各组中心

输入：

subplot(1，3，2)；bar(x，n/100)；　　　　%作出5组频数直方图，见图(b)

subplot (1，3，3)；boxplot(v);  %作出箱型图(c)

箱型图的箱中包含了从25%上分位数到75%上分位数的数据，中间线为中位数．