知识点2: 非正弦周期信号的傅里叶级数分解

导学关键：通过知识点挖掘了解谐波分析法的思想；了解非正弦周期信号可以通过傅里叶级数分解为直流信号和正弦交流信号；了解傅里叶级数展开式的两种具体形式中各系数的计算，以及两种傅里叶级数展开式之间的关系。通过归纳总结引导学生对傅里叶级数展开进行深度理解，了解不同特点的信号傅里叶级数展开式中哪些系数为零，逐步培养学生观察能力、分析能力。

观看学习通视频14.2

一、知识点挖掘：（课前学习）

1、本视频介绍了非正弦周期信号满足         条件时可以展开为傅里叶级数          的形式。

2、在傅里叶级数展开式  中，常数项称为          、其余各项称为           、并把频率与原周期函数相同的谐波分量称为            、其余谐波分量称为           。        

    3、图示函数具有        对称性，其傅里叶级数展开式中，系数          为零，因此            傅里叶级数展开式中不含          项。

二、归纳总结：（课中总结）

根据图示函数的波形，判断函数具有哪种对称性？判断出其傅里叶级数的系数中哪个系数为零，展开式中含有哪些项？最后计算出不为零的系数，并对信号的傅里叶级数展开过程做总结。

           周期函数分解为付里叶级数 

    电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：
                          
也可表示成：
                                 

以上两种表示式中系数之间关系为：
                           
上述系数可按下列公式计算：
                            （k=1，2，3……）
求出 a₀、a_k、b_k 便可得到原函数 f(t) 的展开式。
注意： 非正弦周期电流、电压信号分解成傅里叶级数的关键在于求出系数 a₀、a_k、b_k ，可以利用函数的某种对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪些谐波分量，可使系数的确定简化，给计算和分析将带来很大的方便。如以下几种周期函数值得注意：

(1) 偶函数
波形对称于纵轴，如图 13.2 所示，

              图 13.2

满足：
(2) 奇函数
　　波形对称与原点如图 13.3 所示，
                                   

                  图 13.3 

满足：         
(3) 奇谐波函数
    波形镜对称如图 13.4 所示，

                     图 13.4

满足：                       

(4) 若函数是偶函数又是镜对称时，则只含有奇次的余弦项，即                                                                                                                                                 

(5) 若函数是奇函数又是镜对称时，则只含有奇次的正弦项，即    

实际中所遇到的周期函数可能较复杂，不易看出对称性，但是如果将波形作一定的平移，或视为几个典型波形的合成，则也能使计算各次谐波的系数简化。

例13-1　把图示周期性方波电流分解成傅里叶级数。

      例 13 — 1 图

解：周期性方波电流在一个周期内的函数表示式为：
                          
　　各次谐波分量的系数为：

 
                          
                          
                         （ K 为奇数）　　 
　　因此， 的傅里叶级数展开式为：

 
　　即，周期性方波可以看成是直流分量与一次谐波、三次谐波、五次谐波等的叠加，如下图所示。

例13-2　给定函数 f(t) 的部分波形如图所示。为使 f(t) 的傅里叶级数中只包含如下的分量：(1) 正弦分量；(2) 余弦分量；(3) 正弦偶次分量；(4) 余弦奇次分量。试画出 f(t) 的波形。

     例 13-2 图

解：(1) f(t) 的傅里叶级数中只包含正弦分量，说明 f(t) 为奇函数，对原点对称，可用下图波形表示。

(2) f(t) 的傅里叶级数中只包含余弦分量，说明 f(t) 为偶函数，对坐标纵轴对称，可用下图波形表示。

(3) f(t) 的傅里叶级数中只包含正弦偶次分量，可用下图波形表示。

(4) f(t) 的傅里叶级数中只包含余弦奇次分量，可用下图波形表示。