实验原理

我们知道一个复变函数f(x，y)的傅立叶变换为：

       （1）

F(u，v)叫作f(x，y)的傅立叶变换函数或频谱函数。它一般也为复变函数，f(x，y)叫做原函数，也可以通过求 F(u，v)逆傅立叶变换得到原函数f(x，y)：  

       （2）

在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。逆傅里叶变换公式（2）说明一个空间函数f(x，y)可以表示成无穷多个基元函数exp[i2p(ux+vy)]的线性迭加，是相应于空间频率u，v的权重，F(u，v)称为f(x，y)的空间频谱。

为了下面的说明更方便，介绍几个常用的非初等函数和它们的性质：

1. 1.              矩形函数：

                (3)

它以x₀为中心，宽度为a（a>0），高度为1，两维矩形函数可以表示为两个一维矩形函数的乘积：

1. 2.              sinc函数：

                    (4)

1. 3.              圆域函数：

                (5)

1. 4.              d函数：d函数用来表示物理上的点光源，它是一个广义函数。它的定义式为：

                      (6)

或                  (7)

其中f(x，y)叫做检验函数，要求为连续、可微函数。

d函数的性质：

1)筛选性质：设函数f(x，y)在（x0，y0）连续，则有

         (8)

2)坐标缩放性质：设a、b为实常数，则有

                         (9)

3)可分离变数性：

                            (10)

4)与普通函数乘积的性质：设函数f(x，y)在（x0，y0）连续，则有

  (11)

1. 5.              梳状函数:

一维梳状函数定义为：

   其中n为整数。       (12)

 两维梳状函数定义：

              (13)

      

在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜（傅立叶变换透镜）的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换，即得到它的频谱函数。反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形（不过图形的坐标要反转）。从电子学的通讯理论我们知道，如果对信号的频谱进行处理（如滤波处理）再将信号还原就可以改变信号的性质，如去除信号的噪声等等。因此等效地可以在透镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形的频谱，再对此图形用第二个透镜成像就可以对图形进行处理，得到经过处理的图形。这个过程叫作光学信息处理，在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。

函数	变换式
exp[-p(x2+y2)] rect(x)rect(y) d(x，y) exp[jp(x+y)] Comb(x)comb(y)  Circ(r)	exp[-p(u2+v2)] Sinc(u)sinc(v) 1 d(u-1/2，v-1/2) Comb(u)comb(v) J1(2pr)/r   注：J1()为一阶贝塞尔函数

.                  表1常用的几种函数的傅里叶变换式

最典型的空间滤波系统—两个透镜（光学信息处理系统或傅立叶光学变换系统）叫作4f系统，如图1所示，

物平面  透镜1  频谱面   透镜2    像平面

    

图1 4f系统光路图

图1

激光经过扩束准直形成平行光照明物平面(其坐标为x₁，y₁)，透过物平面的光的复振幅为物函数f(x₁，y₁)，这一光波透镜1到达后焦平面（频谱面）就得到物函数的频谱，其坐标为(u，v)，再经透镜2 在透镜2的象平面上可以得到与物相等大小完全相似但坐标完全反转的象，设其坐标为(x₂，y₂)。此时我们将坐标完全反转后可以认为得到原物的完全相同的象。

关于物平面和频谱面的尺寸大小的问题是实验中很重要的。为了便于问题的讨论，假定物平面和频谱面的坐标单位相同，物函数f(x₁，y₁)的坐标x₁、y₁和频谱函数F(u，v)的坐标u、v的关系为， 其中l为光的波长，f为透镜的焦距。以矩孔为例，如果矩孔的长为a，宽为b，则频谱面得到的衍射图形即矩孔的频谱为[注1]

(14)

 

 [注1 ]矩孔的数学表达式为，根据前面的傅里叶变换的缩放性质和表1可以推得式(14)

由此可以计算出频谱面上中央主极大（图2 右图中央的方斑）的宽度为，高度为。可以知道频谱面尺寸的大小与物平面图形尺寸成反比，与透镜焦距f成正比，所以为了得到较大尺寸的频谱图用于完成实验的透镜的焦距要求较长。图2右图所画的不是物函数的频谱，而是其功率谱。因为任何光的探测器都只能对光强有反映，所以我们观察到的只是频谱的强度分布即模的平方—功率谱。对方孔来说其频谱与功率谱的尺寸相同。

图2 矩形透光孔和它的频谱图

空间滤波器由于其特性和功能不同可以进行不同的分类，按其功能可以分为：

1.    低通滤波：在频谱面上放如图3(1）所示的光阑，只允许位于频谱面中心及附近的低频分量通过，可以滤掉高频噪音。

2.    高通滤波：在频谱面上放如图3(2)所示的光阑，它阻挡低频分量而让高频分量通过，可以实现图像的衬度反转或边缘增强。

3.    带通滤波：在频谱面上放如图3(3)所示的光阑，它只允许特定区域的频谱通过，可以去除随机噪音。

4.    方向滤波：在频谱面上放如图3(4)或（5）所示的光阑，它阻挡或允许特定方向上的频谱分量通过，可以突出图像的方向特征。

图3各种形式的空间滤波器

  以上滤波光阑因透光部分是完全透光，不透光部分是将光全部挡掉，所以称作“二元振幅滤波器”。还有各种其他形式的滤波器，如：“振幅滤波器”、“相位滤波器”和“复数滤波器”等。

1. 5)   相幅滤波器：是将位相转变为振幅的滤波器，它的重要应用就是把“位相物体”显现出来，所谓位相物体是指那些只有空间的位相结构而透明度却一样的透明物体。如生物切片、油膜、热塑等，它们只改变入射光的位相而不影响其振幅。所以人眼不能直接看到透明体中的位相分布也就是它们的形状和结构，利用相幅转换技术就能使人眼看到透明体的形状和结构，从而扩展了人眼的视觉功能。

显现位相的技术有许多种，这里只介绍纹影法和相衬法。

  a）纹影法：这是一个在空气动力学和燃烧学方面很有用的装置，可以应用于火焰照相和流场显示技术。它使用的光阑是一个刀口或一个如图4（2）所示的高通滤波器，也可以是个带通滤波器等等。经流体被扰动的光的场强（复振幅）为：

s=Aexp{i[j (x，y)]}                 （22）

如果j很小复振幅可以近似表示为：

b(x，y)@A[1+ij(x，y)]                          (23)

在刀口平面内，复振幅可以写成b(x，y)的傅立叶变换。

 （24）式中

(u，v)是刀口平面的坐标。这里狄拉克（Dirac）函数d(u，v)表示光源未被扰动的象。由于刀口对光的阻挡作用，产生了光强的衰减，刀口后光强的复振幅可以写成：

                （25）

这里刀口衰减光的效应是通过透过率h来描述的。在记录平面（即底片）上的复振幅b¢ (x₂，y₂)又是B(u，v)的傅立叶变换。假定物和象的放大因子为1，所以x₂=-x₁，y₂= -y₁，和：

b¢(x₂，y₂)]=A[h+ij (x₂，y₂)]                 （26）

故记录平面上的光强分布为：

I(x，y)=|b¢(x₂，y₂)|²= A²[h²+j²(x₂，y₂)]                （27）

纹影图上的对比度或相对光强变化为：

                          （28）

如果h=0其灵敏度或对比度将无限大，上式没有考虑衍射效应，因为衍射使光源的象产生畸变，因此不能用狄拉克函数来表示了。一定数量的扩散光可以到达底片对纹影象的背景光I_j=0有贡献。扩散光的贡献可以一附加项b表示，纹影象的对比度可以描述成：

                              （29）

这样最大的对比度就不是无限的，即使在h=0时。

  b)相衬法：1935年由泽尼克（Zernike）提出，用于生物显微镜。因为大多数细菌为透明的位相物体，要观察细菌往往要染色，这样细菌将被杀死。在显微镜物镜的焦平面上加一个位相滤波器就可以将位相的变化转化为强度变化，从而可以利用显微镜直接看到活的细菌。这个发明使泽尼克获得1935年的诺贝尔奖。

它的原理是利用相位滤波器将物体的相位变化转换成光的强弱不同，相衬法的优点是观察到的强度的变化与位相变化成线性关系。而在纹影法中两者的关系是非线性的。因此不能作为物体厚度等物理量的直接指示。

为了阐述相衬显微镜的原理，将相位物体的透射系数写成

   （30）

 

在一般情况下，用显微镜只能观察物体的亮暗，而物体的亮暗正比于，由公式（）可以知道它与无关的。如果把这种物体置于图5的光学系统（相当于显微镜的物镜部分的情况）中，在物镜的后焦平面上的频谱分布为

   （31）

式中。如果相位变化很小，可以取一级近似，写成

1+                          (32)

代入式（）中，积分以后得

 （33）

式中

滤波器是一块玻璃片上涂一小滴透明的电介质构成，电介质小点位于焦平面的中心，其厚度及折射率使得聚焦的光在通过它后其位相延迟p/2或p/2的奇数倍。经滤波器后物的频谱变为：

   （34）

这样到达象平面上的复振幅为：

                                      （35）

像平面的光强为：

                           （36）

当很小时，可以忽略不计。所以像平面的光强为:

                                           （37）

为了提高相衬图的对比度也可以用与纹影法相同的方法即使零频项除了有p/2位相延迟还有一定的衰减，与（24）—（28）相同，可以得到相衬图的对比度为：

                                           （38）

为了实验的便利常常利用一个透镜完成空间滤波实验（阿贝成像装置）：

如图4所示，这个装置最早是由阿贝（Abbe）于1893年提出的。1906年波特（Porter）用实验验证了阿贝的理论，科学地说明了成像质量与系统传递的空间频谱之间的关系。

物面    透镜  频谱面        像面

图4 一个透镜的傅里叶变换系统

在这种情况下，由于物面与透镜的前焦平面不重合，根据傅立叶光学的理论可以知道在透镜的后焦平面上得到的不是物函数的严格的傅立叶变换（频谱），不过只有一个位相因子的差别，对于一般情况的滤波处理可以不考虑。这个光路的优点是光路简单，是显微镜物镜成像的情况—可以得到很大的象以便于观察，这正是阿贝当时要改进显微镜的分辨本领时所用的光路。

 

实验内容

1.熟悉各个仪器的工作原理和使用方法；

2.调节平行光，测傅里叶透镜的焦距 f；

3.利用夫琅和费衍射测一维光栅常数；

 光路：激光器→扩束镜→准直镜→光栅→傅里叶透镜→屏（此光路满足远场近似）

1. 1)利用夫琅和费衍射测一维光栅常数；

   光栅方程：dsinθ=kλ    其中，k=0，±1， ±2， ±3，…请自己选择待测量的量和求光栅常数的方法。记录一维光栅的衍射图样、可看到哪些级？记录 0级、±1级、±2级光斑的位置

1. 2)记录二维光栅的衍射图样

2. A.观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征。

    光路：激光器→扩束镜→准直镜→光栅→傅里叶透镜→滤波范本（位于空间频谱面上）→傅里叶透镜→屏

1. a)一维光栅

2. l滤波范本只让 0级通过;

3. l滤波范本只让0、±1级通过;

4. l滤波范本只让0、±2级通过

5. a)二维光栅：

6. l滤波范本只让含0级的水平方向一排点阵通过；

7. l滤波范本只让含0级的竖直方向一排点阵通过；

8. l滤波范本只让含0级的与水平方向成45^O一排点阵通过； 

9. l滤波范本只让含0级的与水平方向成135^O一排点阵通过. 

10. A.“光”字屏滤波，物面上是规则的光栅和一个汉字组成迭加，观察实验结果。

11. a)在象面上仅看到一个汉字“光” ；

12. b)如何操作可看到像面上是“光”字中仅有横条纹，或“光”字中仅有竖条纹.