主要知识点：

1） 向量空间（线性空间）的定义及例子；

2）向量空间（线性空间）的基本性质.

要求：掌握向量空间的概念及其简单性质，  了解常用的向量空间.

学习建议：这学期的高等代数课确实有难度，有些理论、证明听不懂是很可能的。怎么办？我们首先要做到认真听课；其次一定要注意概念的学习，跟随老师，慢慢地在脑子里建立向量空间（线性空间）的理论框架，不要把精力全部停留在证明过程中某个不懂得地方。学习是需要一些过程的，有些不理解的内容，随着学习的深入，我们可能慢慢就理解了。最重要的是碰到困难不要放弃，一定要按坚持听课，坚持学习。

6.1.1节

6.1.2节

       同学们请回忆初中物理中的力矢量：当我们讨论力的合成时，本质上是在进行向量加法；而力的缩放（比如两倍拉力）对应标量乘法。19世纪中期，格拉斯曼（Hermann Grassmann）在研究几何系统时发现，这类操作规律不仅适用于力矢量，在复数、多项式甚至更抽象的数学对象中都有相似结构。1888年皮亚诺（Giuseppe Peano）通过八条公理将其形式化，这八条法则可浓缩为三个核心特征：

1. 闭包性：任意两个向量的和仍在空间内，任意标量倍乘也不越界

2. 运算确定性：加法交换律/结合律、数乘结合律等保证运算无歧义

3. 存在零元与负元：每个向量都有唯一的"镜像"（负向量），且有加法单位元（零向量）

以三维几何空间为例，向量加法对应平行四边形法则，数乘对应向量的伸缩，这完美满足上述公理。但更令人惊叹的是，当我们把多项式函数视作向量时，例如定义f(x)=a+bx+cx²，其加法和数乘同样满足向量空间公理——此时基向量{1, x, x²}就构成了这个空间的坐标系。

        意义：这种抽象带来的威力在于：原本分散在几何、代数、分析中的数学工具，如线性方程组求解（高斯消元法）、矩阵对角化（特征值理论）、傅里叶级数（函数正交分解）等，都可以在向量空间的统一框架下进行。现代密码学中的线性纠错码、计算机图形学的3D变换、机器学习中的特征空间降维，本质上都是向量空间理论的应用延伸。