主要知识点：

1）子空间的定义及例子

2）向量空间（线性空间）的子集合是子空间的充分必要条件

要求：  掌握子空间的概念和判别方法；掌握子空间的交与和概念.

学习建议：

1) 向量空间（线性空间）的概念很抽象，更需要我们脑中要有大量具体的向量空间，注意例子的学习与记忆；

2）我们学向量空间（线性空间）的定义之后，接下来我们要做的主要工作就是研究向量空间（线性空间）的结构。怎么研究? 可以从我们熟悉的学过的几何空间的例子考虑，他们有什么特征、结构，我们就可以猜想一般的向量空间（线性空间）有没有，然后逐步构建一般向量空间的理论。

6.2节

       同学们，想象你们正在研究一座无限延展的数学大厦——向量空间。子空间就是这座大厦中自带完整基础设施的功能区域，它既继承了大厦的电梯系统（向量加法）和电力网络（标量乘法），又能独立运作。让我们通过三个层面揭示子空间的奥秘：

1. 结构解剖刀：解空间的维度革命
当求解齐次线性方程组 $�\mathbf{�}=\mathbf{0}$ 时，所有解向量天然构成子空间。这个解空间的维度（即基础解系的个数），实际上由系数矩阵的秩决定。例如在卫星定位方程中，解空间的维度反映了定位系统的冗余信息量。

2. 数据压缩的数学密码
在计算机图形学中，三维物体的旋转操作构成三维空间的一个二维子空间（所有旋转轴平面）。PCA主成分分析正是通过寻找数据分布的最大方差子空间（特征子空间）来实现降维，这相当于在嘈杂的数据迷宫中找到最笔直的通道。

3. 泛函分析的胚胎形态
全体次数≤n的多项式构成函数空间中的子空间，其基{1,x,x²,…,xⁿ}就像一组精密的齿轮。在信号处理中，特定频段的信号构成傅里叶空间中的子空间，滤波器设计本质上就是构造子空间的正交补来消除噪声。

       更惊人的是，子空间通过直和分解可以重构整个空间，就像用DNA碎片拼合完整基因组。下次课我们将化身"空间外科医生"，用矩阵的秩作为手术刀，解剖线性方程组解空间的内脏结构——准备好见证维度坍塌与重生的奇迹了吗？