MATLAB允许在一个循环中使用另一个循环，即嵌套循环。

for循环的嵌套：

for i= 1:N
      for j = 1:M
           <statements>;
      end
end

while循环的嵌套：

while  <expression1>
         while <expression2>
                  <statements>
         end
end

例 - 4      使用嵌套的for循环来制作99乘法表。

for n=1:9

     for m=1:9
           fprintf( '%d * %d =%d     ',n,m,n*m)
     end
     
     fprintf('\n ')
     
end

执行以上示例代码，得到以下结果 -

1 * 1 = 1    1 * 2 = 2    1 * 3 = 3     1 * 4 = 4      1 * 5 = 5     1 * 6 = 6     1 * 7 = 7     1 * 8 = 8     1 * 9 = 9    
2 * 1 = 2    2 * 2 = 4    2 * 3 = 6     2 * 4 = 8      2 * 5 =10    2 * 6 =12    2 * 7 =14    2 * 8 =16    2 * 9 =18    
3 * 1 = 3    3 * 2 = 6    3 * 3 = 9     3 * 4 =12     3 * 5 =15    3 * 6 =18    3 * 7 =21    3 * 8 =24    3 * 9 =27    
4 * 1 = 4    4 * 2 = 8    4 * 3 =12    4 * 4 =16     4 * 5 =20    4 * 6 =24    4 * 7 =28    4 * 8 =32    4 * 9 =36    
5 * 1 = 5    5 * 2 =10    5 * 3 =15    5 * 4 =20    5 * 5 =25    5 * 6 =30    5 * 7 =35    5 * 8 =40    5 * 9 =45    
6 * 1 = 6    6 * 2 =12    6 * 3 =18    6 * 4 =24    6 * 5 =30    6 * 6 =36    6 * 7 =42    6 * 8 =48    6 * 9 =54    
7 * 1 = 7    7 * 2 =14    7 * 3 =21    7 * 4 =28    7 * 5 =35    7 * 6 =42    7 * 7 =49    7 * 8 =56    7 * 9 =63    
8 * 1 = 8    8 * 2 =16    8 * 3 =24    8 * 4 =32    8 * 5 =40    8 * 6 =48    8 * 7 =56    8 * 8 =64    8 * 9 =72    
9 * 1 = 9    9 * 2 =18    9 * 3 =27    9 * 4 =36    9 * 5 =45    9 * 6 =54    9 * 7 =63    9 * 8 =72    9 * 9 =81    

思考：如何制作如下的乘法口诀表

课题练习1：使用嵌套For循环创建一个10*10的希尔伯特矩阵

例 - 5   编程计算矩阵A中下标之和能被3整除的所有元素之和。

A=randi([-10,40],[5,9])

[N M]=size(A);    %通过size()函数测量得到矩阵A的行号和列号，分别给N和M

s=0;

for  n=1:N           %n表示行号

     for  m=1:M    %m表示列号

           if  mod( (n+m) , 3 )==0   %如果行号与列号之和可以被3整除

                s=s+A(n,m);              

            end

      end

end

s

运行上述代码：

A =

    -9    21    -1    -2    -7    -6    23    13    -2

    27    21     2    39    24    31    16    12     9

    15    33    35    26    -8    31    39    32    32

    14    31    -9    15    -7    26    23    -6    30

    36    19    14    14    16    -3    30    -4    -7

s =

   305

拓展练习：如果A是一个三维立体矩阵，如A=randi([-10,40],[5,9,3])，上述代码该如何修改？

例：设数组为x=[1:55]，编写程序，使得数组按照第一行输出1个，第二行输出2个....第10行输入10个元素的方式输出该数组。效果如下：

方法1：双重for循环

clear

x=1:55;

k=1;                     %k表示数组x的元素的索引号，初始化为1

for  n=1:10           %表示依次遍历1-10行

      for m=1 : n     %表示每一行依次从1数到n

            fprintf('%4d  ',x(k)) 

            k=k+1;       %k+1，以便于输出x中的下一个元素

      end

      fprintf('\n ')      %该行到尽头了，所以换行

end

方法2：巧用计数器

clear

k=0;            %k表示当前行内输出到第几个元素了，初始值为0

jsq=1;          %jsq表示每一行元素所允许的元素总数，初始值为1

for n=1:55

   fprintf('%4d  ', n )

    k=k+1;     %每输出一个元素，k加1

    if  k==jsq          %如果这一行数到了尽头

         fprintf('\n ')   %该行到尽头了，所以换行

         jsq=jsq+1;    %下一行的元素总数目加1

         k=0;              %k置0，以便于下一行开始时重新计数

    end

end

课堂练习2：（1）采用randi([1,300],[10,20])生成一个10*20的随机整数矩阵A；（2）把A中能被3或5或7整除的所有元素归类到数组x中，剩余的元素归类到数组y中，输出x,y，并统计数组x与y的元素的数目。（3）把x中所有可以被3整除的元素替换成0。

方法1：for循环

%方法1：for循环

clear

A=randi([1,300],[10,20])

[row col]=size(A)

k1=0;   %数组x的计数器

k2=0;   %数组y的计数器

x=[ ];    %数组x的初始化为空数组

y=[ ];    %数组y的初始化为空数组

for n=1:row           %遍历所有行

    for m=1:col       %遍历所有列

        if  mod(A(n,m),3)==0|mod(A(n,m),5)==0|mod(A(n,m),7)==0 

            %如果元素A(n,m)能被3或5或7整除，则x的计数器k1自加1，并把A(n,m)扔进x里

             k1=k1+1;

             x(k1)=A(n,m);    %也可以写作：x=[ x, A(n,m) ];

        else

            %如果元素A(n,m)不能被3或5或7整除，则y的计数器k2自加1，并把A(n,m)扔进y里

             k2=k2+1;

             y(k2)=A(n,m);    %也可以写作：y=[ y, A(n,m) ];

        end

    end

end

x

y

num_x=numel(x)

num_y=numel(y)

% % 把x中所有可以被3整除的元素替换成0。

for k=1:num_x

    if  mod(x(k),3)==0

         x(k)=0;

    end

end

x

方法2：向量化编程

%方法2：向量化编程

clear   

A=randi([1,300],[10,20])

loc=(mod(A,3)==0|mod(A,5)==0|mod(A,7)==0)

x=A(loc)'

y=A(~loc)'

num_x=numel(x)

num_y=numel(y)

x(mod(x,3)==0)=0;

x

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Tips1：程序运行的耗时记录方法

TIC
       operations;  %操作
TOC

简单地说，tic和toc是用来记录matlab命令执行的时间

tic用来保存当前时间，而后使用toc来记录程序完成时间。显示时间单位：秒

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Tips2：算法优化——剪枝算法

一：剪枝策略的寻找的方法

1）微观方法：从问题本身出发，发现剪枝条件

2）宏观方法：从整体出发，发现剪枝条件。

3）注意提高效率，这是关键，最重要的。

总之，剪枝策略，属于算法优化范畴；通常应用在DFS 和 BFS 搜索算法中；剪枝策略就是寻找过滤条件，提前减少不必要的搜索路径。

二：剪枝算法(算法优化)

1、简介

    在搜索算法中优化中，剪枝，就是通过某种判断，避免一些不必要的遍历过程，形象的说，就是剪去了搜索树中的某些“枝条”，故称剪枝。应用剪枝优化的核心问题是设计剪枝判断方法，即确定哪些枝条应当舍弃，哪些枝条应当保留的方法。

2、剪枝优化三原则: 正确、准确、高效

     搜索算法,绝大部分需要用到剪枝.然而,不是所有的枝条都可以剪掉,这就需要通过设计出合理的判断方法,以决定某一分支的取舍. 在设计判断方法的时候,需要遵循一定的原则.

剪枝的原则

  1） 正确性

  正如上文所述,枝条不是爱剪就能剪的. 如果随便剪枝,把带有最优解的那一分支也剪掉了的话,剪枝也就失去了意义. 所以,剪枝的前提是一定要保证不丢失正确的结果.

  2）准确性

  在保证了正确性的基础上,我们应该根据具体问题具体分析,采用合适的判断手段,使不包含最优解的枝条尽可能多的被剪去,以达到程序“最优化”的目的. 可以说,剪枝的准确性,是衡量一个优化算法好坏的标准.

 3）高效性

设计优化程序的根本目的,是要减少搜索的次数,使程序运行的时间减少. 但为了使搜索次数尽可能的减少,我们又必须花工夫设计出一个准确性较高的优化算法,而当算法的准确性升高,其判断的次数必定增多,从而又导致耗时的增多,这便引出了矛盾. 因此,如何在优化与效率之间寻找一个平衡点,使得程序的时间复杂度尽可能降低,同样是非常重要的. 倘若一个剪枝的判断效果非常好,但是它却需要耗费大量的时间来判断、比较,结果整个程序运行起来也跟没有优化过的没什么区别,这样就太得不偿失了.

3、分类

   剪枝算法按照其判断思路可大致分成两类:可行性剪枝及最优性剪枝.

3.1 可行性剪枝 —— 该方法判断继续搜索能否得出答案，如果不能直接回溯。

3.2 最优性剪枝

    最优性剪枝，又称为上下界剪枝，是一种重要的搜索剪枝策略。它记录当前得到的最优值，如果当前结点已经无法产生比当前最优解更优的解时，可以提前回溯。

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例 : 编程找出100之内所有的勾股数。

满足 x^2+y^2=z^2 的一组正整数（x, y , z）称为一组勾股数。

如：3,4,5 

未优化：

clear

N=100;   %找到N之内的所有勾股数

num=0;   %num表示目前已经找到组数

S=[ ];       %数组S用来存放找到的勾股数，每一行存放一组；

tic      %开始计时

for  z=1:N                   %z的范围为1：N

      for  x=1:N             %x的范围为1：N

             for  y=1:N      %y的范围为1：N

                   if  x^2+y^2==z^2

                        if x<y   %只保留x<y的情况，如4,3,5和3,4,5都符合，但我们只要后者这组数

                               num=num+1;        %符合条件则计数器加1        

                               S(num,1:3)=[x,y,z];  %把[x,y,z]扔到数组S的第num行，也可写作 S=[S ; x,y,z];

                               %fprintf('x=%d ,y=%d,z=%d  \n',x,y,z) %如果要打印出来，可以用这句

                         end

                   end

             end

       end

end

toc     %计时结束

num   %显示找到的勾股数的组数

S       %显示存放所有找到的勾股数的数组S

初步优化：(剪枝)

clear

N=100;   %找到N之内的所有勾股数

num=0;   %num表示目前已经找到组数

S=[ ];       %数组S用来存放找到的勾股数，每一行存放一组；

tic     %开始计时

for  z=5:N                          %z的范围为5：N

      for  x=3:z-2                 %x的范围为3：z-2

             for  y=x+1:z-1      %y的范围为x+1：z-2

                   if  x^2+y^2==z^2

                        num=num+1;          %符合条件 则计数器加1        

                        S(num,1:3)=[x,y,z];    %把[x,y,z]扔到数组S的第num行，也可写作S=[S ; x,y,z];

                        %fprintf('x=%d ,y=%d,z=%d  \n',x,y,z) %如果要打印出来，可以用这句

                   end

             end

       end

end

toc    %计时结束

num   %显示找到的勾股数的组数

S       %显示存放所有找到的勾股数的数组S

继续优化：(剪枝)

clear

N=100;   %找到N之内的所有勾股数

num=0;   %num表示目前已经找到组数

S=[ ];       %数组S用来存放找到的勾股数，每一行存放一组；

tic            %开始计时

for  z=5:N 

      for  x=3:fix(z/sqrt(2))

            for  y=(x+1) : fix(sqrt(z^2-x^2))

                   if  x^2+y^2==z^2

                        num=num+1;          %符合条件 则计数器加1        

                        S(num,1:3)=[x,y,z];    %把[x,y,z]扔到数组S的第num行，也可写作S=[S ; x,y,z];

                        %fprintf('x=%d ,y=%d,z=%d  \n',x,y,z) %如果要打印出来，可以用这句

                   end

            end

       end

end

toc        %计时结束

num   %显示找到的勾股数的组数

S       %显示存放所有找到的勾股数的数组S

% 设N=3000，再比较以上三段代码的运行时间的差异？

编程练习：

编程验证，是否存在n1,n2,n3,n4,n5 这5个大于等于2的自然数（范围均在2--200之间），使得下式成立？

（可假设）

要求：比比看，谁的程序用时最少？

例: 求s的值

%for循环加sum( ) 函数

clear all

s=1;                   %s初始值

flag=-1;             %正负交替标识，初始化

for k=1:99

      s=s+flag*(sum([1:k])^(1/k))/sum([1:k+1]);

      flag=-1*flag;

end

s

%方法2：

clear all

s=1;

for k=1:99

     s=s+(-1)^k*(sum([1:k])^(1/k)/sum([1:k+1]));

end

s