集合之间的运算

并

两个集合可以相"加"。A和B的并集是将A和B的元素放到一起构成的新集合。

定义

给定集合A，B，定义运算∪如下：A∪B = {e|e∈A 或 e∈B}。A∪B称为A和B的并集。

A 和 B 的并集

示例

    {1, 2}∪{红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色}

    {1, 2, 绿色}∪{红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色}

    {1, 2}∪{1, 2} = {1, 2}

基本性质

作为集合间的二元运算，∪运算具有以下性质。

交换律：A∪B = B∪A；

结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)；

幂等律：A∪A = A；

幺元：∀集合A，A∪

  = A；（  是∪运算的幺元）。

交

一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。A和B的交集，写作A∩B，是既属于A的、又属于B的所有元素组成的集合。

若A∩B={\displaystyle \varnothing }，则A和B称作不相交。

A 和 B 的交集

定义

给定集合A，B，定义运算∩如下：A∩B = {e|e∈A 且 e∈B}。A∩B称为A和B的交集。

基本性质

作为集合间的二元运算，∩运算具有以下性质。

交换律：A∩B = B∩A；

结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)；

幂等律：A∩A = A；

空集合：∀集合A，A∩  =  ；（  是∩运算的空集合）。

其它性质还有：

A⊆B ⇒ A∩B = A

示例

    {1, 2}∩{红色, 白色} = 

    {1, 2, 绿色}∩{红色, 白色, 绿色} = {绿色}

    {1, 2}∩{1, 2} = {1, 2}

差

两个集合也可以相"减"。A在B中的相对补集，写作B−A，是属于B的、但不属于A的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集U的子集。这样，U−A称作A的绝对补集，或简称补集（余集），写作A′或C UA。

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

定义

给定集合A，B，定义运算-如下：A - B = {e|e∈A 且  。A - B称为B对于A的差集，相对补集或相对余集。

在上下文确定了全集U时，对于U的某个子集A，一般称U - A为A（对于U）的补集或余集，通常记为A'或  ，也有记为CUA的。

基本性质

作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：

A - A =  ；

右幺元：∀集合A，A -  = A；（ 是 - 运算的右幺元）。

左零元：∀集合A，  - A =  ；（  是 - 运算的左零元）。

示例

    {1, 2}−{红色, 白色} = {1, 2}

    {1, 2, 绿色}−{红色, 白色, 绿色} = {1, 2}

    {1, 2}−{1, 2} = 

若U是整数集，则奇数的补集是偶数