定义

行列式的概念是从解线性方程组的需要中引进来的。所谓线性方程组是指未知项的最高次数是一次的方程组，其中最简单的是在中学时学习的二元线性方程组：

其中  表示第 个方程中第 个未知数的系数， 表示第 个方程的常数项。

用加减消元法来解该方程组，第一、二式分别乘以  和，然后相减，消去未知数 ，

得到

同理，消去未知数  ，

得到

当  时，方程组有唯一解

为了便于记忆，引入如下记号

称为二阶行列式，其中   称为这个行列式第  行第 列的元素。

二阶行列式是四个数排成两行两列，用一种称为对角线法则计算得出的数，从左上角到右下角上元素相乘，取正号，右上角和左下角上元素相乘，取负号，两个乘积的代数和就是二阶行列式的值。

应用

利用二阶行列式，我们可以方便的求解上述方程组。

当  时，上述方程组的解可以写成：

其中 分别是用常数项  代替  中的第一、二列而得到的二阶行列式，即

历史起源

历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式的理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对行列式作出连贯的逻辑阐述.

法国数学家柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。