定义

（1）单射：设f是集合A到集合B的一个映射，如果对于任意a，b属于A，当a不等于b时有f(a)不等于f(b)，则称f是A到B内的单映射 。

（2）满射：如果对任意的b属于B都有一个a属于A使得f（a）=b，则称f是A到B上的映射，或称f是A到B的满映射。

（3）逆映射：设有映射f：A->B,如果存在映射g：B->A使得g*f=IA，f*g=IB其中IA、IB分别是A与B上的恒等映射，则称g为f的逆映射。

逆映射，用较为通俗但不太严格的语言来表述，就是：设有映射f：A—B，若存在映射g：B—A，使得：

1）先执行f，再执行g，执行的结果是gf：A—A，即gf等于A上的恒等映射 ；

2）先执行g，再执行f，执行的结果是fg：B—B，即fg等于B上的恒等映射，则g叫做f的逆映射。画一个图，更直观。

设f：A→B，如果有g：B→A使得g。f=   ，f。g=   。则说f是可逆映射。

性质

设f：A→B是可逆映射，那么使得g。f= ，f。g=  的g：B→A是由f唯一确定的（此时记g=  )。

证：如果还有h:B→A使g。h= ，f。h= ，那么可得（g。f）。h=g。（f。h） 但（g。f）。h=   。h=h，g。（f。h）=g。   =g，从而h=g.  。当f：A→B可逆时，这个由f唯一确定的映射：B→A即称为f的逆映射。

判定

映射f：A→B是可逆映射，必要且只要f是双射。

证明：如果f是可逆映射，那么，应有映射g：B→A使得g。f= ，f。g= 。由于恒等映射 是单的，则易证f是单射。由于恒等映射  是单的，则易证f是满射。所以 f是双射。　

反过来，如果f：A→B是个双射，对任意bB，由于f为双射，故必有且只有一个aA使f（a）=b。则按这个规则，B中每一个元素b都有且只有一个aA与之对应。这个规则（也就是B到A的一个映射）记为g，则g：B→A对任意bB，g（b）=a，f（a）=b。

则对任意bB，设f（a）=b则（f。g）（b）=f（g（b））=f（a）=b=  （b），也就是f。g=  。

同样，对任意aA，设f（a）=b，则（g。f）（a）=g（f（a））=g（b）=a= （a），也就是g。f=  。