商映射

设X，Y是两个拓扑空间，映射  称为商映射，如果它是连续的满映射，并且对每个  ，若   是X的开集，则B是Y的开集。

实际上容易看出，商映射即是满足下列两个(等价的)条件之一的满映射  

(1)  是开集   是X的开集；

(2)   是闭集  是X的闭集。

常用命题

关于商映射，有如下一些基本而常用的命题。

命题1 开的(或闭的)连续满映射 是商映射。 

但是这个命题的逆命题并不成立。

命题2 如果X是紧致的，Y是 空间，则连续满映射 是商映射。

证明 只需证明f是闭映射即可，对于x中任一闭子集F，由于X是紧空间，故F是紧子集，从而f(F)是Y的紧子集，由于Y是 空间，故f(F)是闭的，因此f是闭映射。

命题3 商映射的复合映射仍然是商映射。

命题4 若   是商映射．则商空间  与Y同胚。

序关系

偏序关系，亦称序关系、弱偏序关系、半序关系，是一种重要的二元关系。指集合A有自反性、反对称性和传递性的二元关系R，A称为偏序集。偏序关系常用记号≤表示（仍读作小于或等于）。a≤b意即aRb。偏序关系可用符号表示为：R是A的偏序关系。 

定义1，设P是集合，P上的二元关系“≤”满足以下三个条件，则称“≤”是P上的偏序关系（或部分序关系）：

（1）自反性：a≤a，∀a∈P；（2）反对称性：∀a，b∈P，若a≤b且b≤a，则a=b；（3）传递性：∀a，b，c∈P，若a≤b且b≤c，则a≤c；

偏序关系有下列特点：

1、对角集；

2、≤ 的矩阵(rij)λ的主对角线上的元素全是1；当 i ≠ j 时，rij·rji = 0，当 rij = rjk = 1时，rik=1；

3、≤ 的箭头图上每一点有一箭头从自己出发而指向自己。如有箭头从a指向b，从b指向c，就有箭头从a指向c，任何两点间无双箭头。

偏序关系的逆关系≥一定是偏序关系，偏序关系一定是拟序关系。1880年，皮尔斯（Perice，C.S.）首先系统地讨论了偏序关系，而关于偏序的术语是由豪斯多夫（Hausdorff，F.）从1914年引进的。