带余除法就是带有余数的除法，被除数=除数×商+余数。带余除法主要包括整数的带余除法和多项式的带余除法。其中，整数的带余除法定理为：对于任意的a,b(设a≥b且b≠0)，存在唯一的商q和余数r 使得a=bq+r。多项式的带余除法则与之类似。

整数带余除法定理

设  ，这里设  ，且  ，存在唯一的整数对  ，使  ，其中  。这个定理称为整数带余除法定理，是初等数论的基础。 

证明：易得b<0时，与b>0时证明类似，此处为了简明，仅证明b>0的情况。

【存在性】

令  （[x]表示不超过x的最大整数）

∵ 

∴ 

∴ 

此时，令 则  存在，证毕。

【唯一性】

设  是满足  的另一对整数，因为 ，于是

故

由于  及  都是小于  的非负整数，所以 

因为  ，则  ，  ，故  ，假设不成立

∴ 

唯一性证毕。

多项式带余除法定理

任意非零多项式  除  ，其商式余式一定存在，且余式是惟一满足关系式  的零多项式，或次数小于  的一个多项式。

多项式除以多项式

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；

（2）用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项；

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来；

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止。被除式=除式×商式+余式。如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

例如：计算

解：

所以，  ， 其中，商式是  ，余式是