线性代数

张玮

目录

  • 1 线性方程组
    • 1.1 线性方程组的基本概念
    • 1.2 高斯消元法与阶梯型
    • 1.3 线性方程组的等价与初等变换
    • 1.4 矩阵
    • 1.5 齐次线性方程组
    • 1.6 二阶行列式
    • 1.7 三阶行列式
  • 2 集合与映射
    • 2.1 集合的基本概念
    • 2.2 集合之间的运算
    • 2.3 集合的乘积和基数
    • 2.4 映射的基本概念
    • 2.5 映射的合成
    • 2.6 逆映射
    • 2.7 对换
    • 2.8 置换的分解
    • 2.9 例子
    • 2.10 置换的符号
    • 2.11 偶置换与奇置换
    • 2.12 置换在函数上的作用
    • 2.13 等价关系
    • 2.14 商映射与序关系
    • 2.15 数学归纳法
    • 2.16 整数的算术(上)
    • 2.17 整数的算术(下)
  • 3 矩阵
    • 3.1 向量和向量空间
    • 3.2 线性组合和线性相关
    • 3.3 一些性质
    • 3.4 基
    • 3.5 维数
    • 3.6 行秩、列秩的定义及性质
    • 3.7 线性方程组的可解性准则
    • 3.8 重新理解线性方程组
    • 3.9 线性映射
    • 3.10 矩阵的运算
    • 3.11 矩阵乘积的秩
    • 3.12 矩阵的转置
    • 3.13 单位矩阵和纯量矩阵
    • 3.14 可逆矩阵
    • 3.15 一些计算
    • 3.16 初等矩阵
    • 3.17 逆矩阵的计算
    • 3.18 线性方程组的解空间
    • 3.19 解空间的基础解系
  • 4 行列式
    • 4.1 平行六面体的体积与行列式
    • 4.2 行列式的若干性质
    • 4.3 广义行列式函数
    • 4.4 行列式按一行或一列的元素展开
    • 4.5 准三角方阵的行列式
    • 4.6 方阵乘积的行列式
    • 4.7 例子
    • 4.8 可逆矩阵的行列式判别准则
    • 4.9 克拉默法则
    • 4.10 矩阵的子式与矩阵的秩的联系
  • 5 群、环、域
    • 5.1 运算
    • 5.2 结合律的性质
    • 5.3 幂与倍数
    • 5.4 可逆元素
    • 5.5 群的定义和例子
    • 5.6 循环群
    • 5.7 元素的阶
    • 5.8 循环群的子群
    • 5.9 同态与同构
    • 5.10 例子与结论
    • 5.11 半群的乘法表以及群与对称
    • 5.12 环的定义和例子
    • 5.13 整数的剩余类环
    • 5.14 零因子、整环
    • 5.15 同态
    • 5.16 域的定义,例子
    • 5.17 素域
    • 5.18 域的特征
    • 5.19 任意域上的线性方程组
  • 6 复数和多项式
    • 6.1 复数域
    • 6.2 矩阵模型
    • 6.3 复平面、棣莫弗公式
    • 6.4 共轭
    • 6.5 实数域二次扩张的唯一性
    • 6.6 有理数域的二次扩张
    • 6.7 复数的初等几何
    • 6.8 尺规作图与二次扩张
    • 6.9 定义
    • 6.10 一些术语
    • 6.11 多项式的取值
    • 6.12 带余除法
    • 6.13 多元多项式
    • 6.14 多元单项式的字典序
    • 6.15 若干术语
    • 6.16 整除的初等性质
    • 6.17 最大公因子和最小公倍元
    • 6.18 欧几里得环的唯一因子分解性
    • 6.19 整系数多项式的因式分解
    • 6.20 整环的分式域
    • 6.21 欧几里得环的分式域
    • 6.22 有理函数域
  • 7 多项式的根
    • 7.1 根与线性因子
    • 7.2 韦达公式
    • 7.3 多项式的导数与根的重数
    • 7.4 重因子
    • 7.5 多项式函数
    • 7.6 代数基本定理的叙述和一些引理
    • 7.7 代数基本定理的证明
    • 7.8 实系数多项式的虚根
    • 7.9 复数域和实数域上的最简分式
    • 7.10 实系数多项式的根(上)
    • 7.11 实系数多项式的根(中)
    • 7.12 实系数多项式的根(下)
    • 7.13 斯图姆定理的证明
    • 7.14 正根的个数与系数的关系
    • 7.15 多项式根的近似计算
    • 7.16 整系数多项式的有理根
    • 7.17 对称多项式的定义与例子
    • 7.18 对称多项式的基本定理
    • 7.19 待定系数法
    • 7.20 一元四次方程的求根问题
    • 7.21 判别式
    • 7.22 解三次方程
    • 7.23 结式(上)
    • 7.24 结式(下)
  • 8 复习
    • 8.1 复习(一)
    • 8.2 复习(二)
    • 8.3 复习(三)
    • 8.4 复习(四)
  • 9 阅读
    • 9.1 阅读
  • 10 问卷调查
    • 10.1 问卷调查
一些性质
  • 1 视频
  • 2 章节测验


恩利克·费米

         恩利克·费米(意大利文:Enrico Fermi,1901年9月29日—     1954年11月28日),美籍意大利著名物理学家、美国芝加哥大     学物理学教授,1938年诺贝尔物理学奖得主。

         费米领导小组在芝加哥大学Stagg Field 建立人类第一台可       控核反应堆(芝加哥一号堆,Chicago Pile-1),人类从此迈入     原子能时代,费米也被誉为“原子能之父”。

         费米在理论和实验方面都有第一流建树,这在现代物理学家      中是屈指可数的。100号化学元素镄、美国伊利诺伊州著名的费      米实验室(Fermilab)、芝加哥大学的费米研究院(The Enrico          Fermi Institue) 都是为纪念他而命名的。费米一生的最后几          年,主要从事高能物理的研究。1949年,揭示宇宙线中原粒子      的加速机制,研究了π介子、μ子和核子的相互作用,提出宇宙      线起源理论。1952年,发现了第一个强子共振──同位旋四重        态。1949年,与杨振宁合作,提出基本粒子的第一个复合模          型。


戴维·希尔伯特 

         

          

          戴维·希尔伯特,又译大卫·希尔伯特,D.(David Hilbert,     1862~1943),德国著名数学家。

          他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上,提出        了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世        纪数学的至高点,对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的        发展,在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是      19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称为“数学        界的无冕之王”,他是天才中的天才。




线性组合

线性代数的基本概念之一.设α₁,α₂,…,αₑ(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量.若V中向量α可以表示为:α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₑ∈P,e=1,2,…,s),则称α是向量组α₁,α₂,…,αₑ的一个线性组合,亦称α可由向量组α₁,α₂,…,αₑ线性表示或线性表出.例如,在三维线性空间P3中,向量α=(a₁,a₂,a₃)可由向量组α₁=(1,0,0),α₂=(0,1,0),α₁=(0,0,1)线性表出:α=a₁α₁+a₂α₂+a₃α₃.

定义一个包含k个实数变量的集合,且假设已知一个k个实数权重集合。我们定义。s变量是对变量x的加权线性”混合”。因此,将s定义为变量的线性组合。可以将线性组合的概念推广到矢量中。定义每个是一个矢量,因此,它们的线性组合s也是一个矢量。当然.每个矢量必须有相同数量的元素。请注意,s的每个分量都是一个由被组合矢量的相对应元素构成的线性组合。

线性相关

在线性代数里,矢量空间的一组元素中,若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示,则称为线性无关或线性独立(linearly independent),反之称为线性相关(linearly dependent)。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关;但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关,因为第三个是前两个的和。


在向量空间V的一组向量A:  ,如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使

则称向量组A是线性相关的,否则数 k1, k2, ···,km全为0时称它是线性无关。

由此定义看出  是否线性相关,就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。

即是看

这个齐次线性方程组是否存在非零解,将其系数矩阵化为最简形矩阵,即可求解。此外,当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时,这个系数矩阵存在行列式为0,即有非零解,从而  线性相关。