在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性独立的横行的极大数目。

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。 

给出这一结果的两种证明。第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质。第二个证明利用了正交性。第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基。第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形。

证明一

令A是一个  的矩阵，其列秩为 r。因此矩阵A的列空间的维度是r。 令  是A的列空间的一组基，构成 矩阵C的列向量   ，并使得A的每个列向量是C的r个列向量的线性组合。由矩阵乘法的定义，存在一个 矩阵R， 使得 A=CR。(A的(i,j)元素是  与 R的第 j个列向量的点积。)

现在，由于A=CR,A的每个行向量是R的行向量的线性组合，这意味着A的行向量空间被包含于R的行向量空间之中。因此A的行秩 ≤R的行秩。但R仅有r行, 所以R的行秩 ≤r=A的列秩。这就证明了A的行秩 ≤A的列秩。

把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证A的列秩 ≤ A的行秩。更简单的方法是考虑 A的转置矩阵 ，则A的列秩 =  的行秩 ≤    的列秩 = A的行秩。这证明了A的列秩等于A的行秩，证毕。

证明二

令A是一个m×n矩阵。定义rk(A)为A的列秩，A为A的共轭转置或称施密特转置。首先可知AAx= 0当且仅当Ax= 0.     AAx= 0 ⇒xAAx= 0 ⇒(Ax)(Ax)= 0 ⇒ ‖Ax‖= 0 ⇒ Ax = 0,

其中‖·‖是欧氏范数。这说明A的零空间与AA的零空间相同。由秩－零化度定理，可得rk(A) = rk(AA)。AA的每一个列向量是A的列向量的线性组合。所以AA的列空间是A的列空间的子空间，从而rk(AA) ≤ rk(A)。 即: rk(A) = rk(AA) ≤ rk(A)。 应用这一结果于A可或得不等式: since (A)=A，可写作rk(A) ≤ rk((A)) = rk(A)，这证明了rk(A) = rk(A)，证毕。