定义

（1）线性变换是线性空间V到自身的映射通常称为V上的一个变换。

同时具有以下定义：

线性空间V上的一个变换A称为线性变换，对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有

A(α+β)=A（α）+A（β）

A (kα)=kA(α)

（2）线性变换是线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。

对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉=〈a，σ（β）〉。

（3）在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。

（4）在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。

性质

（1）设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-α)=-A(α)； 

（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变；

（3）线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。

运算

线性变换的加法和数量乘法

定义一：设  ，对A 与B和A+B定义为：  

定义二：设 ，对k与A的数量乘积kA定义为：

定义三：设 ，对A 与B的乘积AB定义为：  

定义四：设 ，若存在 ，使得   ，则称A是可逆的，且B是A的逆变换，记为：