单位矩阵在高等代数中的应用

高等代数中，在求解相应的矩阵时若添加单位矩阵然后通过初等变换进行求解往往可以使问题变得简单。

求等价标准型问题

设A是mxn矩阵，求A的等价标淮型D以及使PAQ=D成立的P与Q，按常规方法，一般会分别对A作行初等变化与列初等变化求出P、Q，而如果利用添加单位矩阵：即

当对A作行初等变换时，Im也作了相同的行初等变换，即化为P；

当对A作列初等变换时，In也作了相同的行初等变换，即化为Q。

求逆矩阵问题

设A是n阶可逆矩阵，求其逆矩阵。

一般的思想，会先求出   ，再利用   进行求解，这种方法算起来较麻烦且易出错。

可以利用   ，即把n阶单位炬阵I在A的右边，得到一个nx2n矩阵，然后对这一矩阵施行行初等变换，使得前n列变为I，这时后n列就化为   了。

如果不知A是否可逆，也可用这种方法做，只要nX2n矩阵经行初等变换左边的nxn那一块中有一行(列)的元素全为0，则A不能经过初等变换化为单位矩阵，即A不可逆。

纯量矩阵

如果对角形矩阵A中主对角线上的元素全为k，则A=kE，E为单位阵，则称A为纯量矩阵。又或者，可以这么描述：纯量矩阵是指主对角线上的元素都相同，其余元素都为0的矩阵。其数学表达形式如下：

矩阵A正好是在   的任一基中对应于比为k 的   的同位相似的矩阵。

映射k↦kE是从交换体K到全体n阶纯量矩阵之集上的同构。

纯量矩阵性质

定理1

设A是数域F上n阶矩阵，则下列命题等价：

(1) A是纯量矩阵；

(2) A与F上任一n阶矩阵都可换；

(3) A的任一相似阵必是A本身；

(4) 设   (   表示 i 行 j 列的元素为1，其余元素全为0的n阶矩阵，)；

(5) 设   同(4)，则   ；

(6) 设n阶矩阵：

则：AH=HA，AH'=H'A（H'为H的转置矩阵）；

(7) 设n阶矩阵：

则：AU=UA，AU'=U'A（U'为U的转置矩阵）；

(8)设n阶矩阵U同(7)且：

则：AU=UA，AL=LA；

(9)设n阶矩阵U同(7)，且：

则：AU=UA，AQ=QA。

定理2

设A是数域F上n阶矩阵，则下列命题等价：

(1) A是纯量矩阵；

(2) A的极小多项式是一次的；

(3) A的不变因式都相等；

(4) A的不变因式都是一次的；

(5) A的行列式因子组是型如    ；

(6) A的初等因子全相等，且因子个数等于n；

(7) A的初等因子全相等，且A的初等因子全体等于A的不变因子全体。

定理3

设A是数域F上n阶矩阵，V是F上n维向量空间，线性变换A在基下的对应阵是A，则下列命题等价：

(1) A是纯量矩阵；

(2) A是纯量变换，   即(   ， 是V的恒等变换)；

(3) 设B是V的任一线性变换，则AB=BA；

(4) A在V的任一基下所对应的矩阵仍是A；

(5) V的任一子空间都是A的不变子空间；

(6) V的任一一维子空间都是A的不变子空间；

(7) 设V的基为    ，则   都是A的不变子空间；    都是A的不变子空间。

引理及定理

引理

引理 1：如果数域F 上 n 阶方阵A 与任意n阶方阵的乘法是可交换的，那么 A 一定是纯量矩阵。

引理 2：数域F 上 n 阶方阵A 为纯量矩阵的充要条件是 A 与任何 n 阶可逆矩阵的乘法可交换。

定理

（1）定理 1：数域F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是：A 与所有行列式为 1 的n阶矩阵可交换。

（2）定理 2：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是   中的每个非零向量都是它的特征向量。

（3）定理 3：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的不变因子都不是常数。

根据定理 3 和行列式因子、初等因子、不变因子的关系，容易得到：

1）推论 1：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的不变因子都是一次的。

2）推论 2：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的 k 阶行列式因子都是 k 次的。

3）推论 3：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的初等因子都相等，且 A 的初等因子组为 A 的不变因子全体。

数域 F 上 n 阶矩阵的相似是一个等价关系，在相似关系下， A 的等价类称为 A 的相似类。

（4）定理 4：数域 F 上 n 阶方阵 A 为纯量矩阵的充分必要条件是 A 的相似类里只有一个元素 。