可逆矩阵
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定义
设 是数域, ,若存在 ,使得 , 为单位阵,则称为可逆阵, 为 的逆矩阵,记为 。若方阵 的逆阵存在,则称 为可逆矩阵或非奇异矩阵。
性质
(1)若 为可逆矩阵,则 的逆矩阵是唯一的。
(2)设 、 是数域上的 阶矩阵, 。
① 若 可逆,则 和 也可逆,且 , ;
② 若 可逆,则 可逆 ,且 ;
③ 、 均可逆 。
常用方法
(1)判断或证明 可逆的常用方法:
① 证明 ;
② 找一个同阶矩阵 ,验证 ;
③ 证明 的行向量(或列向量)线性无关。
(2)求 的方法:
① 公式法:,其中 为矩阵 的伴随矩阵。
② 初等变换法:对 作初等变换,将 化为单位阵 ,单位矩阵 就化为 。