双射

设f是从集合A到集合B的映射，若f(A)=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，则称f为A到B上的满射；

若对A中任意两个不同元素a(1)不等于a(2)，它们的像f<a(1)>不等于f<a(2)>，则称f为A到B的单射；

若映射f既是单射，又是满射，则称映射f为A到B的“双射”(或“一一映射”)。 函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。

函数f: A → B为双射当且仅当对任意b∈B存在唯一a∈A满足f(a) = b。

函数f : A → B为双射当且仅当其可逆，即，存在函数g: B → A满足g o f = A上的恒等函数，且f o g为B上的恒等函数。

两个双射的复合也是双射。如g o f为双射，则仅能得出f为单射且g为满射。

同一集合上的双射构成一个对称群。

如果X,Y皆为实数集R，则双射函数f:R→R可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次。（这是水平线测试的一个特例。）

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定义

在集合论中，一个由集合X至集合Y的映射称为双射的，若对集合Y内的任意元素y，存在唯一一个集合X内的元素x，使得 y = f(x)。 

换句话说，f为双射的若其为两集合间的一对一对应，亦即同时单射且满射。

例如，由整数集合至的函数succ，其将每一个整数x连结至整数succ(x)=x+1，及另一函数sumdif，其将每一对实数(x,y)连结至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。

一双射函数亦称为置换。后者一般较常使用在X=Y时。以由X至Y的所有双射组成的集合标记为XY.

双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色，如在同构(和如同胚和微分同构等相关概念)、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。

三角函数图像

华罗庚

          华罗庚（1910.11.12—1985.6.12）， 出生于江苏常州金坛区，祖籍       江苏丹阳。数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世       界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。中国第一至第六届全国人       大常委会委员 。

          他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函       数论等多方面研究的创始人和开拓者，并被列为芝加哥科学技术博物馆中       当今世界88位数学伟人之一。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏       定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。