行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

数学定义

n阶行列式

设

是由排成n阶方阵形式的n²个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n！项之和

式中k1,k2,...,kn是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那末数D称为n阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4！个形为

的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为(－1)3.

若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作

D=|A|=detA=det(aij)

若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。

标号集：序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足1≤i1<i2<...<ik≤n(1)

i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有  个子列。因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集，C(n,k)的元素记作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示

σ={i1,i2,...,ik}　

是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列。若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。