范德蒙行列式

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c₁，c₂，…，cₑ决定，它的第1行全部都是1，也可以认为是c₁，c₂，…，cₑ各个数的0次幂，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次幂），它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次幂，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次幂，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次幂。

定义

形如

的n阶行列式称为范德蒙行列式。

定理

若  为  阶范德蒙行列式  ，则有

这里  表示所有同类因子  (其中  )的乘积，即

证明 用数学归纳法作证明。

当  时，  ，结论成立，假设该结论对  阶范德蒙行列式成立，即

考虑n阶范德蒙行列式的情形

从第n行开始，自上而下依次的由下一行减去它上一行的  ，有

按第一列展开后提取公因式，得

于是有