运算

数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。运算的本质是集合之间的映射。

一般说来，运算都指代数运算，它是集合中的一种对应。对于集合A中的一对按次序取出的元素a、b，有集合A中唯一确定的第三个元素c和它们对应，叫做集合A中定义了一种运算。

由这个运算可以得出两个运算，就是把a、b中的一个当作所求的，而把c当作已知的，这样得出的运算，叫做原来运算的逆运算。

例如，加法是已知a、b，求a+b=c的运算，那么已知a及c，求b的运算，或者已知b及c求a的运算，就是加法的逆运算，叫做减法。

群、环、域

1、群的概念可以理解为：一个集合以及定义在这个集合上的二元运算，满足群的四条公理，封闭性、结合性、单位元、反元素。

可交换群就是在满足群的“四公理”的基础上在加上一个可交换的属性，可把满足可交换的操作满足对称性。

1.1  原群(magma)是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即封闭性。

1.2 半群(Semigroup)，满足结合律(associative property)的代数结构。V=，其中二元运算*是可结合的，即(a*b)*c=a*(b*c)，则称V是半群。

1.3 阿贝尔群(Abelian Group)-交换群在群的基础上，还需满足交换律。如整数集合和加法运算，(Z,+)，是一个阿贝尔群

2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。

3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合不是域，因为整数的倒数不是整数。

有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。

从群到环，再到域，是一个条件逐渐收敛的过程。