逆元素基本概念

一个存在单位元素e的代数系统   ，如果对S内的元素a存在   ，使得   ，则称   为a对运算“   ”的左逆元素，亦称左逆元。

一个存在单位元素e的代数系统   ，如果对S内的元素a存在   ，使得   ，则称    为a对运算“   ”的右逆元素，亦称右逆元。

这里的左逆元和右逆元是针对给定运算的某个元素而言的。我们说某个元素有没有逆元素，而不能说某个代数系统有没有逆元素。另外还需要说明：

(1)一个元素可以没有左逆元和右逆元；

(2)一个元素可以只有左逆元；

(3)一个元素可以只有右逆元；

(4)一个元素可以既有左逆元，又有右逆元。

左右逆元素相等且唯一的条件

左右逆元素相等且唯一的条件是：

1)运算有单位元素；

2)元素a的左右逆元素都存在；

3)满足结合律。

通过以上分析，我们得出如下定理：

定理1 设   为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于x∈S，如果存在左逆元  和右逆元  ，则有 且y是x的唯一的逆元。