在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

若集合  ，在 上的二元运算（该运算称为群的乘法，其结果称为积）  构成的代数结构  ，满足：

1. 封闭性：即G的任意两个元素在  下的运算结果都是该集合的一个元素。（  ，  ）

2. 结合律：   ，    ；

3. 单位元：   中存在元素  ，使G中任一元素  与之相乘（包括左乘和右乘）的结果都等于  本身。（   ，使  ，有    ）；

4. 逆元：   ，   ，使得    ，   称为   的逆元，记为    。（逆元具有唯一性，即：由  可以推出   ）

则   称为一个群，或乘法群。

有时由于上下文的原因，群上的二元运算亦可称为加法，此时该运算通常记为  ，群元素的运算也被记为如同   的形式，而群也可被称为加法群。此种情况下，往往加法还有可交换的性质。

置换群

定义   为集合   上所有双射的集合，并定义合成映射  ，这里  是   的任意元素。    构成一个群，这个群被称为置换群，记为   或  。

例集合   的三个元素置换群组成   .

一般线性群

定义    为所有n阶实可逆方阵的集合，乘法   为矩阵乘法，则    构成一个群。

这个群称为一般线性群，记为    。