定义

若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)={am |m∈Z}，a称为G的—个生成元。

特别地，如果G的代数运算采用加号表示时，则有 (a)={ma | m∈Z}

性质

定理1

设(a)是—个循环群，

(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；

(2)若IaI=n，则(a)与模几的剩余类加群Zn同构。

证(1)|a|=∞，则当m≠n时，

am≠an，(a)={…，a-2，a-1，e，a1，a2，…}.

于是令 φ：(a)→Z，am→m可以证明这是循环群(a)到整数加群Z的一个双射，且

φ(am·an)=φ(am+n)=m+n=φ(am)+φ(an)，

故φ是(a)到Z的一个同构映射，所以(a)≌Z.

(2)设IaI=n，则(a)={e，a，a2，…，an-1}

令 σ：(a)→Zn，am→[m].

若有m，m′∈Z，m′>m使得am=am'，则am'-m=e，而an=e，所以n | m'-m，即m'=m(mod n)，因此[m′]=[m]，故σ是(a)到Zn的—个映射.

又∀[0]≤[k]≤[n-1]，有ak∈(a)，使得[k]=σ(ak)，且若am≠am′，则σ(am)≠σ(am′)，同时∀am、am′∈(a)，

σ(am·am')=σ(am+m')

=[m+m′]=[m]+[m′]

=σ(am)+σ(am′)，

所以σ是(a)到Zn的一个同构映射，即(a)≌Zn。

由于群之间的同构关系具有反身性、对称性和传递性，故这个定理告诉我们，凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。这样抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群和模n的剩余类加群.

定理2

有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的.

证 已证1和-1可以作为整数加群Z的生成元，如果另有k是生成元，则(k)=(1)=Z，这时由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，于是k=m=±1，所以只有两个元1与-1可以作为整数加群Z的生成元。

若k∈Z，k≠0，则∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞

说明，有且仅有两个元a与a-1可以作为无限循环群(a)的生成元，在无限循环群(a)中除单位元的阶是1以外，其余元的阶都是无限的.

定理3

在模n的剩余类Zn中，有

(1)|[k]|=n/(k,n)

(2)[k]是Zn的生成元<=>(k，n)=1.

证 (1)由定理可得。

(2)若[k]∈Zn，则([k])⊆Zn，由(1)与(k，n)=1知|[k]|=n，所以|([k])|=n，Zn=([k])

反之，设[k]是Zn的生成元，有([k])=Zn，所以|([k])|=n，由(1)知(k，n)=1.

此定理说明|(a)| =n时，(ak)=(a)<=>(k，n)=1。