群

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

定义

若集合  ，在  上的二元运算（该运算称为群的乘法，其结果称为积）  构成的代数结构  ，满足：

1. 封闭性：即G的任意两个元素在  下的运算结果都是该集合的一个元素。（  ，  ）。

2. 结合律：  ， ；

3. 单位元：  中存在元素  ，使G中任一元素  与之相乘（包括左乘和右乘）的结果都等于  本身。（

                   ，使  ，有  ）；

4. 逆   元：  ，  ，使得  ，  称为  的逆元，记为  。（逆元具有唯一性，

                  即：由  可以推出  ）

则  称为一个群，或乘法群。

有时由于上下文的原因，群上的二元运算亦可称为加法，此时该运算通常记为  ，群元素的运算也被记为如同  的形式，而群也可被称为加法群。此种情况下，往往加法还有可交换的性质。

简单例子

例1

在普通乘法下是群。

证：1) 封闭性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1

       2) 结合律：成立

       3) 单位元：1

       4) 逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1

例2

在mod n的加法下是群. 

证：1) 封闭性：除以n的余数只能是  ，故封闭性成立

       2) 结合律：成立

       3) 单位元：0

       4) 逆元素：对任意元素a有  ，a的逆元 

置换群

定义  为集合  上所有双射的集合，并定义合成映射  ，这里  是  的任意元素。

  构成一个群，这个群被称为置换群，记为  或  。

例集合  的三个元素置换群组成  .

一般线性群

定义  为所有n阶实可逆方阵的集合，乘法  为矩阵乘法，则  构成一个群。

这个群称为一般线性群，记为  。