群的同态和同构

定义设<G,>和<H,*>是两个群，映射ψ：G→H称为从<G,>到<H,*>的群同态（Group Homomorphism），如果对任意a,b∈G都有ψ(ab) = ψ(a)*ψ(b)。

根据ψ是单射、满射和双射，群同态分别称为单一群同态（Group monomorphism）、满群同态（Group Surjective Homomorphism）和群同构（Group Isomorphism）。

定理1设ψ是<G,>到<H,*>的群同态，则

（1）若e是群G的幺元，则ψ(e)是群H的幺元；

（2）对任意a∈G，有ψ(a^-1) = (ψ(a))^-1。

证明  （1）ψ(e) = ψ(ee) = ψ(e)*ψ(e)

可见ψ(e)是群H中的幂等元，但群中只有幺元是幂等元，所以ψ(e)是群H的幺元。

（2）因为    ψ(a)*ψ(a^-1) = ψ(aa^-1) = ψ(e)，ψ(a^-1)*ψ(a) = ψ(a^-1a) = ψ(e)

所以    ψ(a^-1) = (ψ(a))^-1