内自同构(inner automorphism)一类特殊的自同构。若g是群G中一个元，则映射给出群G的一个自同构，称这样的自同构为群G的内自同构。

定义

在抽象代数的群论中，内自同构是群的自同构的一种。设g为群G的一个元素，则g对应的内自同构，是以g的共轭作用定义如下

群G的一个自同构，如果是G的元素的共轭作用，便称为内自同构。

内自同构(inner automorphism)是一类特殊的自同构，若g是群G中一个元，则映射给出群G的一个自同构，称这样的自同构为群G的内自同构。

群G的所有内自同构在映射的合成运算下构成一个群，称为G的内自同构群，常记为Inn (G)。若G为交换群，则Inn(G)={1}。群G的内自同构群是它的自同构群的正规子群，群G的内自同构群同构于商群G/Z(G)，其中Z(G)为G的中心，即Inn (G)-G/Z (G)。群G的不是内自构的自同构称为外自同构。商群Out (G) =Aut (G) /Inn (G)称为G的外自同构群。外自同构群的元素一般不是自同构。

性质

（1）若g 在G 的中心Z(G )内，则  是平凡的。因此阿贝尔群的内自同构都是平凡的。一般而言，  的不动点集，正是g 的中心化子CG( g )。

（2）内自同构  的逆元是  。两个内自同构  的复合是  。

（3）由群的中心的基本性质可知，若Inn(G )是循环群，则Inn(G )是平凡群。

（4）若Inn(G )=Aut(G )且G 无中心，则G称为完备群。

（5）若G是完满群且Inn(G )是单群，则G称为拟单群。

（6）设R是半完备环，R的内自同构群为G，若对任意0≠e=e~2∈R,1+e是R中的可逆元，则R在G作用下的不变元是R的中心。

内自同构群

群G 的内自同构组成内自同构群Inn(G )。内自同构群Inn(G )与群G对其中心Z(G )的商群G/Z(G )同构。

内自同构群Inn(G )是G 的自同构群Aut(G )中的正规子群，其对应商群记为Out(G )=Aut(G)/Inn(G )，称为外自同构群。

上述关系可以用以下两个短正合列表示：

正规子群

群G 的子群H 是G 的正规子群，当H 在G 的任一内自同构的作用下不变。这时G 的内自同构限制到H上是H 的自同构（未必是H 的内自同构），因而有群同态  。这个群同态的核是H 在G 中的中心化子CG(H )。

对一般的子群H，可取其在G 中的正规化子NG(H )，则H 是NG(H )的正规子群，故有群同态  ，其核是CG(H )。因此NG(H )/CG(H )可以嵌入到Aut(H )内，即 是单射。