定义  设<R,+,*>是代数系统，“+”和“*”是二元运算，它们具有下述三个性质。

（1）<R,+>是可交换群；

（2）<R,*>是半群；

（3）乘法“*”对加法“+”可分配，即对任意a,b,c∈R，a*(b+c) = a*b+a*c, (b+c)*a = b*a+ c*a。

则我们称<R,+,*>是一个环（Ring）。称<R,+>为加法群，将<R,+>中元素a的逆元a^-1写成-a，单位元记为0，称为零元。

定义  设<R,+,*>为一个环，对a，b∈R且a，b是非零元，当a*b = 0时，则称a，b为零因子，存在零因子的环称为含零因子环，否则称为无零因子环。如果半群<R,*>是可交换的，则称<R,+,*>为可交换环，如果<R,+,*>是无零因子，且<R,*>是可交换的含幺半群，则称<R,+,*>为整环，记<R,*>的幺元为1。

例1 证明<Z,+,×>是整环，其中运算“+”与“×”分别是整数集合Z上的普通加法和乘法。

证明  显然<Z,+>是一个交换群，<Z,×>是一个含幺半群，其中幺元为1，且“×”对“+”满足分配律，所以<Z,+,×>是一个环，又对任意的a,b∈R，如果a×b = 0，显然有a = 0或者b = 0，所以<Z,+,×>是一个无零因子环。

另外，运算“×”满足交换律。

所以<Z,+,×>是整环。

我们已经知道<n,+_n>是交换群，现在集合n上定义一个运算×_n：

对任意a，b∈n，a×_nb = a×b (mod n)

其中，“×”是普通乘法。则<n,+_n,⊙>是否是环呢？

例2 证明<4,+₄,×₄>是一个环，并判断它是否是整环。

证明  （1）显然<4,+₄>是交换群，其中单位元为0。

（2）由×₄的定义，对任意a，b∈4，则a×₄b∈4，所以×₄满足封闭性。

又对任意a，b，c∈4，有

(a×₄b)×₄c = (a×b (mod 4))×₄c = a×b×c (mod 4) = a×₄(b×₄c)

所以结合律成立，进而<4,×₄>是半群。

（3）任意a，b，c∈4，有

   a×₄(b+₄c) = a×((b+c)(mod 4)) = (a×b+a×c)（mod 4）

            = ((a×b)(mod 4)+( a×c)(mod 4))（mod 4）

            = a×₄b+₄a×₄c

又由×₄的定义，运算×₄满足交换律，所以自然有

(b+₄c)×₄a = b×₄a+₄c×₄a

所以分配律成立。

综上，<4,+₄,×₄>是一个环。

2∈n，2×₄2 = 0，所以2是一个零因子，故<4,+₄,×₄>不是整环。

推广  <n,+_n,×_n>是一个环。