一个非零环R叫做一个整环，对任意的a,b属于环R，假如

1、乘法适合交换律ab=ba；

2、R有单位元1；

3、R没有零因子ab=0可得a=0或b=0，则R是整环。

零因子

零因子是在环的乘法中具有零元素(加法单位元)的部分特征，由与其不同的代数对象。

设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab = 0；同样可以定义右零因子。既是左零因子又是右零因子的元素称为零因子。在一些代数结构中，ab = 0不一定能推导出a,b = 0。例如：同阶方阵构成一个环结构，两个非零方阵(参见矩阵)的积可以是一个零方阵，此时，这两个方阵则是环中的零因子，它们常被称为奇异矩阵。

整环

整环是抽象代数中最基本的概念之一。

一个环是一个集合 A 以及它上面的两种运算，分别称为“加法”（+）和“乘法”（*），满足以下条件：

1、A 关于加法成为一个 Abel 群（其零元素记作 0）；

2、乘法满足结合律：(a * b) * c = a * (b * c)；

3、乘法对加法满足分配律：a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c；

如果环 A 还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：

4、乘法交换律：a * b = b * a。

如果交换环 A 还满足以下两条件，就称为“整环”：

5、A 中存在非零的乘法单位元，即存在 A 中的一个元素，记作 1，满足：1 不等于 0，且对任意 a，有：1 * a = a * 1 = a；

6、ab=0 => a=0 或 b=0。

例：

1、整数环是整环。

2、所有的域（有理数域，实数域，复数域，等等）都是整环。

3、整环上的多项式环仍是整环。

4、当 n>1 时，任意环上的n阶矩阵环不是整环。