定义：设<F,+,*>是一个代数系统，其中|F|>1，如果：

（1）<F，+>是一个交换群，其单位元记为0；

（2）<F-{0}，*>是交换群；

（3）运算“*”对运算“+”可分配；

     则称<F,+,*>为域（Field）。

　由定义，显然域是一个整环。　

例1  证明<Q,+,×>是域，其中运算“+”与“×”分别是有理数集合Q上的普通加法和乘法。

证明  显然|Q|>1，<Q,+>是交换群，<Q-{0},×>是交换群，加法对乘法的分配律成立，所以<Q,+,×>是域。

同样，读者可以验证实数集合R，复数集合C上定义的普通加法和乘法都是域。

例2  证明<7,+₇,×₇>是一个域。

证明  我们已经知道<7,+₇,×₇>是一个环，因此要证明它是域，只需证明<7-{0},⊙>是一个交换群。为简单记，我们记a×b为ab。

（1）封闭性：对任意的a，b∈7-{0}，假设a×₇b = 0，即

a×₇b = ab (mod 7) = 0

                则存在k∈Z，有

ab = 7k

                则有7整除ab，即

7|ab

                因为7是素数，则有

7|a，或者7|b

          又a，b∈7-{0}，则7不能整除a和b，矛盾，所以a×₇b≠0，故×₇在7-{0}是封闭的。

（2）结合律与交换律：读者自行证明结合律、交换律成立。

（3）单位元：1∈7-{0}，且对任意的a∈7-{0}有

a×₇1 = a = 1×₇a

                所以单位元存在。

（4）逆元存在：对任意的a∈7-{0}，因为(7,a) = 1，所以存在s，t∈Z，使得7s+ta = 1

                     则

1 = ta (mod 7)

                    则存在p∈Z，使得k = t+7p，其中k∈7-{0}，有

1 = ta (mod 7) = ka (mod 7) = k×₇a

                    而×₇满足交换律，所以有

k×₇a = 1 = a×₇k

                    即k是a的逆元。

综上<7-{0},×₇>是一个交换群，所以<7,+₇,×₇>是域。

通过上面的方法，我们有下面的推广：

推广  如果p是素数，则<,+_p,×_p>是一个域。