概念

域的特征是交换代数中的基本概念。 一个域就是满足加、减、乘、除四则运算的集合。 比如有理数域，有理函数域，代数数域、伽罗华域等等。

任何域必定包含元素0和1。和我们所熟悉的有理数域不同， 有些域中，若干个1相加有可能等于零。 假设p是最小的正整数， 使得p个1相加等于0， 那么p就称为域的特征。 特别的， 如果任何多个1相加都不会是0，那么特征p就定义为0。

可以证明， 如果域的特征p>0，则p一定是素数。特征大于零的域有很多， 比如模p的剩余类域（也就是p的剩余系)：{0，1，2，...，p-1}特征为p(>0)的域F中元素满足Frobenius条件：(x+y)p=xp+yp，x、y∈F。

域

设P是一至少含有两个元素的环，如果在P中乘法还具有下列性质：

(1)有单位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，对所有的a∈P；

(2)有逆元素，即对p中每个非零元素a都有一元素a，使a-1a=aa-1=e；

(3)交换律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一个域。域有下列的基本性质：

(1)域没有零因子；

(2)若集F在两个 二元运算(加法和乘法)下满足下列条件，则F为一个域：

①F是以零为单位元的加法群;

②由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群；

③乘法对加法是可分配的；

(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，并记作x=a/b；

(4)在F中，指数律成立；

(5)若把域F的单位元e的n倍ne记作n，则F中任一元a的n倍na就是n与a的积na。