二次扩张

二次扩张(quadratic extension)是一类重要的有限扩张。二次扩张是指扩张次数为2的域扩张。域F上的二次不可约多项式的分裂域是F的二次扩张。设K/F是域扩张，K′是K的子域，F上的每个二次多项式在K′中可分解为一次因子的乘积，只要该多项式在K中有根，这样的K′中的最小者，称为F在K中的二次闭包。

二次扩张(quadratic extension)是一类重要的有限扩张。二次扩张是指扩张次数为2的域扩张。域F上的二次不可约多项式的分裂域是F的二次扩张。设K/F是域扩张，K′是K的子域，F上的每个二次多项式在K′中可分解为一次因子的乘积，只要该多项式在K中有根，这样的K′中的最小者，称为F在K中的二次闭包。当F与它在代数闭包中的二次闭包一致时，称F为二次闭域。

设A为交换环，e为A的单位元素。称A的扩张B是二次扩张，如果存在B的元素v，使得(e，v)是A-模B的基。

设A为交换环，而d为A的元素。以关系：

定义乘法的加法群A2是A的二次扩张，在这一扩张中，(d，0)是(0，1)的平方；通常将这一扩张记为  。例如，  是复数体，  是高斯整环。

域的扩张

域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。