二次域

二次域，就是有理数域Q的二次扩域。每个二次域都可表示成其中d 不等于1是无平方因子的有理整数，按照d>0和d<0，分别称K为实二次域和虚二次域。二次域是除了有理数域之外最简单的一类代数数域。它有较简单的数学结构和特性。

定义

假定  适合一个有理整系数的既约二次方程。则  就称为一个二次域。实际上，全体二次域即 ，其中 D 过所有不等于 1 且无平方因子的有理整数。

当 D>0 时，  称为实二次域（real quadratic field）；

当 D<0 时，  称为虚二次域（imaginary quaadratic field）；

当  （mod 4）时，命  及  ；

当  （mod 4）时，命  及  。则  为  的判别式，而1、  为  的一组整基。

1、  亦为  的一组整基。

发展

二次域有许多研究课题，其中最著名的是高斯关于类数问题的两个猜想：1801年，C.F.高斯发表了他在20岁时所写的数论著作《算术研究》，展现了他的一个杰出的思想，即把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环──二次域和它的(代数)整数环上来研究。他在这些方面的工作，是研究二次域的开端，也是代数数论的一个源头。

① 只有有限多个类数为1的虚二次域；

② 存在着无限多个类数为1的实二次域。

关于第一个猜想，1934年，H.海布雷恩给出了初步证明。1935年C.L.西格尔进一步证明了该猜想。A.贝克于1966年和H.M.斯塔尔克于1967年各自独立地证明了类数为1的虚二次域只有9个：d=1，2，3，7，11，19，43，67，163。至于第二个猜想，则至今仍未解决。