多项式函数与多项式

在初等数学与微积分中，多项式视同多项式函数，两者在一般的域或环上则有区别。举例言之，考虑有限域  上的多项式

此多项式代任何值皆零，故给出零函数，但其形式表法非零。

我们宁愿将多项式看作形式的符号组合，以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质：就函数观点，多项式函数在域扩张下的行为颇复杂，上述  给出  上的零函数，但视为  上的多项式函数则非零；而就形式观点，只须将系数嵌入扩张域即可。

于是我们采取下述定义：令R 为环。一个单变元X 的多项式 P(X)定义为下述形式化的表法：

其中  属于R，称作  的系数，而X 视作一个形式符号。两多项式相等当且仅当每个  的系数均相同。次数最大的非零系数称为该多项式的领导系数，或者首项系数。

更严谨的说法或许是将多项式定义为系数的序列  ，使得其中仅有有限项非零。但是我们在实践上总是用变元 X及其幂次表达。

以下固定环 R，我们将推广初等数学中熟悉的多项式运算。

环结构

多项式的加法由系数逐项相加定义，而乘法则由下列法则唯一地确定： 

分配律：对所有R上的多项式  ，恒有

对所有  ，有 对所有非负整数  ，有 

运算的具体表法如下：

当 R 是交换环时，R[X] 是个 R 上的代数。

多项式的合成

设  而Q(X) 为另一多项式，则可定义两者的合成为 

求值

对于任一多项式  及  ，我们可考虑 P(X) 对r的求值：

固定  ，则得到一个环同态  ，称作求值同态；此外它还满足 

导数

在微积分中，多项式的微分由微分法则  确定。虽然一般的环上既无拓扑结构更无完备性，我们仍然可形式地定义多项式的导数为：

这种导数依然满足  与  等性质。对于系数在域上的多项式，导数也可以判定重根存在与否。