最大公因子

最大公因子又称最大公约数（英语：greatest common divisor，gcd），指两个或多个整数共同具有的最大约数，记为  或   。

求两个整数最大公约数主要的方法：

穷举法：分别列出两整数的所有约数，并找出最大的公约数。

素因数分解：分别列出两数的素因数分解式，并计算共同项的乘积。

短除法：两数除以其公同素因数，直到两数互素时，所有除数的乘积即为最大公约数。

辗转相除法：两数相除，取余数重复进行相除，直到余数为{\displaystyle 0}时，前一个除数即为最大公约数。

两个整数{\displaystyle a,b}的最大公约数和最小公倍数（lcm）的关系为：

两个整数的最大公约数可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。

两个整数的最大公约数和最小公倍数中存在分配律：

在直角坐标中，两顶点为   的线段会通过   个格子点。

最小公倍元

几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作[a,b],自然数a、b的最大公因数可以记作(a、b)，当(a、b)=1时,[a、b]= a×b。如果两个数是倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积。最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数, 解题时要避免和最大公约（因）数问题混淆。

最小公倍数的适用范围：分数的加减法，中国剩余定理(正确的题在最小公倍数内有解，有唯一的解)。  因为，素数是不能被1和自身数以外的其它数整除的数；素数X的N次方，是只能被X的N及以下次方，1和自身数整除。所以，给最小公倍数下一个定义：S个数的最小公倍数，为这S个数中所含素因子的最高次方之间的乘积。

例如：1，求756，4400，19845，9000的最小公倍数？

因756=2*2*3*3*3*7，4400=2*2*2*2*5*5*11，19845=3*3*3*3*5*7*7，9000=2*2*2*3*3*5*5*5，这里有素数2，3，5，7，11．2最高为4次方16，3最高为4次方81，5最高为3次方125，7最高为2次方49，还有素数11。得最小公倍数为16*81*125*49*11=87318000．2，自然数1至50的最小公倍数，因为，√50≈7，所以，在50之内的数只有≤7的素数涉及N次方。在50之内，2的最高次方的数为32，3的最高次方的数为27，5的最高次方的数为25，7的最高次方的数为49，其余为50之内的素数。所以，1，2，3，4，5，6，…，50的最小公倍数为：32*27*25*49*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47=3099044504245996706400