描述

在数学中，更具体地说在抽象代数和环理论中，欧几里德域（也称为欧几里得环）是一个可以赋予欧几里德函数（下面解释的）的交换环，其允许整数的欧几里德分割的适当泛化。这种广义欧几里德算法可以与欧几里德原始算法在整数环中保持许多相同的用途：在任何欧几里德域中，可以应用欧几里德算法来计算任意两个元素的最大公约数。特别地，任何两个元素的最大公约数存在并且可以被写成它们的线性组合（Bézout的身份）。欧几里得域中的每个理想也都是主体，这意味着算术的基本定理的适用泛化：每个欧几里德域都是唯一的因式分解域。

将欧几里德域的类别与较大类的主要理想域（PID）进行比较是很重要的。任意的PID具有与欧几里得域（或甚至整数环）大致相同的“结构性质”，但是当已知欧几里德分割的显式算法时，可以使用欧氏距离算法和扩展欧几里德算法来计算最大的公约数和Bézout的身份。特别地，在计算机代数中存在用于欧几里德整数除法和一个变量中的多项式的有效算法在计算机代数中的基本重要性。

因此，给定一个整数域R，知道R具有欧几里德函数通常是非常有用的：特别是这意味着R是一个PID。然而，如果没有“明显的”欧几里德函数，则确定R是否是PID，通常比确定它是否是欧几里得域容易得多。

定义

一个欧几里得整环是一整环 D 及函数   ，使之满足下述性质：

（1）若   而   ，则存在   使得 a=bq+r，而且或者 r=0，或者 v(r)<v(b)。

（2）若a 整除 b，则   。

函数 v可设想成元素大小的量度，当   时可取 v(x):=|x|。

例子

欧几理得整环的例子包括了：

整数环   。

高斯整数环   。

域上的多项式环（ ）与幂级数环（v(f) 定义为使  的最大非负整数 n）。

离散赋值环， v(x)定义为使    的最大非负整数n，其中   表该离散赋值环的唯一极大理想。

利用辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中 v-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。

并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了  的整数环在 d=-19,-43,-67,-163 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。