韦达定理

定义

设一元二次方程   中，两根x₁、x₂有如下关系：

数学推导

由一元二次方程求根公式知：    

则有： 

定理推广

逆定理

如果两数α和β满足如下关系：α+β=  ，α·β= ，那么这两个数α和β是方程   的根。

通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

推广定理

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

定理：

设   （i=1、2、3、……n）是方程：  的n个根，记   （k为整数），则有： 。

威尔逊定理

证明

充分性

如果“p”不是素数，当p=4时，显然（p-1)!≡6≡2(mod p), 当p>4时，若p不是完全平方数，则存在两个不等的因数a，b使得ab=p，则(p-1)!≡nab≡0(mod p);若p是完全平方数即p=k^2，因为p>4,所以k>2，k,2k<p，(p-1)!≡n(k*2k)≡n'k^2≡0(mod p)。

必要性

若p是素数,取集合 A={1,2,3,...p -1}; 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:

( i j ) ≡ 1 ( mod p )那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况

x^2 ≡ 1 ( mod p )

解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p - 1 ( mod p )

其余两两配对;故而

( p - 1 )! ≡ 1﹡( p -1 ) ≡ -1 ( mod p )

必要性证明

证明：若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。

方法一

p=2，命题显然成立；

p=3，命题显然成立；

假设B中被p除余一的数是γa:

一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,又因为a不等于1，所以γ=1不成立；

二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,又因为a不等于p-1,所以γ=p-1不成立；

由一二三知γ≠a且a,γ∈A。

a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。

即A中的每一个a均可找到与其配对的y，γ∈A使ay≡1(mod p)，

又，a不同时，γ也相异。

因此，A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元组都满足ay≡1(mod p)，

∴ 1×2×3×4....(p-2)≡1(mod p)

p-1≡-1(mod p)

∴ (p-1)!≡-1(mod p)

从而p可整除(p-1)!+1

方法二

对于偶质数2，命题显然成立；

对于奇质数，令a∈A={2,3,4.....p-2},则B={a,2a,3a,.....,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除，而a|α-β|∈B，B中的元素不可能被p除尽。于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.

假设b中被p除余一的数是γa:

一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,所以γ=1不成立；

二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余a,所以γ=p-1不成立；

三若γ=a，则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p)，故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾，故不成立；

由一二三知γ≠a且a∈A。

a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。

依次取a为2,3,...,(p-1)/2;使γa≡1（mod p)的数γ分别为(p-1)/2+1,(p-1)/2+2,...,(p-1)/2,

即2*【(p-1)/2+1】≡3*【(p-1)/2+2】≡4*【(p-1)/2+3】≡...【(p-1)/2】*(p-2)≡1(mod p)

从而2*【(p-1)/2+1】*3*【(p-1)/2+2】*4*【(p-1)/2+3】*...*【(p-1)/2】*(p-2)≡1(mod p)

2*3*4*5*6*...*(p-2)≡1(mod p)

又p-1≡-1(mod p),则

(p-1)!=1*2*3*4*5*...*(p-2)*(p-1)≡-1(mod p)

从而p可整除(p-1)!+1