虚根指的是方程的复数根。如果一个实系数整式方程有虚根，则其共轭复数也是所给方程的根(共轭根)。实系数二次方程  具有虚根的必要充分条件是   。

实系数多项式的虚根

如果实数系数方程 有虚根 ，这里a和b都是实数，，那么它还有另一个虚根   。

这个定理叫做实数系数方程虚根成对定理，这个定理就是说，一个实数系数方程如果有虚根，那么共轭虚根  一定成对出现，下面我们用两种方法来证明这个定理。

证明一 设用

除   所得的商是   ，余式是   ，那么就有

因为被除式   和除式   的各项的系数都是实数，所以商   和余式   的各项的系数都是实数。

因为a+bi是方程  的根,所以   ．因此，把   代入上式，得

就是

根据复数等于零的条件，得

因为   ，所以从(2)，得   ，代入(1)，得  ，因此，

从而，   ，由此可知，    是   的根。

证明二 因为a+bi是 的根，所以   是   的因式，因此，

   和的最高公因式，只有两种可能：或者是   ，或者是    。

因为，   和   的各项的系数都是实数，它们的最高公因式的各项的系数也都是实数，而  的各项的系数不全是实数，所以   不是   和   的最高公因式。因此，   是  和   的最高公因式，由此可知，

因此，  是   的根。

因为实数系数方程如果有虚根，共轭虚根  一定成对出现，所以我们可以得出下面的两个推论。

推论1

实数系数奇次方程至少有一个实根，一般有奇数个实根。

推论2

实数系数偶次方程或者没有实根，或者有偶数个实根。

因为实数系数方程  有一个实根c，   就有一个实数系数因式   和它对应，有一对虚根，就有一个实数系数因式   和它对应，所以我们又可以得出下面的推论。

推论3

实数系数多项式  一定是一次或者二次的实数系数不可约因式的积。