数域

设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。

常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q。

定义

设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。

常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q。

（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域。）

说明：

1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的。

2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称数集P为一个数域。

数域的性质定理

（1）任意数域P都包括有理数域Q；即，有理数域为最小数域。

证明：设P为任意一个数域，由定义可知，  ，于是有  ，进而有  ，而任意一个有理数可表成两个整数的商，所以  。

（2）设F1及F2是两个数域，则  也构成一个数域。