斯图姆定理(Sturm theorem)

斯图姆定理(Sturm theorem)是确定实系数多项式实根个数的一个重要定理，设f(x)是实系数n(n≥1)次多项式，令f0(x)=f(x)，f1(x)=f′(x)，则由带余除法，f0(x)=f1(x)q1(x)+r1(x).令f2(x)=-r1(x)，对f1(x)与f2(x)，由带余除法有f1(x)=f2(x)q2(x)+r2(x)，再令f3(x)=-r2(x)，并对f2(x)与f3(x)作带余除法，如此继续下去，得多项式序列：f0(x)，f1(x)，…，fs(x)，…，fm(x)，称为f(x)的斯图姆序列，斯图姆定理是：设f(x)是实系数多项式，且f(x)无重根，f0(x)，f1(x)，…，fm(x)是f(x)的斯图姆序列，若a<b，f(a)≠0和f(b)≠0，则序列f0(a)，f1(a)，…，fm(a)的变号数V(a)与序列f0(b)，f1(b)，…，fm(b)的变号数V(b)的差V(a)-V(b)恰是f(x)在区间(a，b)内实根的个数，斯图姆(C.-F.Sturm)在1829年的论文《论数字方程解》中，深入地讨论了代数方程根的隔离，引入了斯图姆序列的概念，给出了斯图姆定理。

基本介绍

斯图姆定理是判断实系数多项式方程实根个数的定理。给出实系数多项式方程

f(x)=a0xⁿ+…+an-1x+an=0， a0≠0，令f0(x)=f(x)，f1(x)=f′(x)，用f1(x)除f0(x)得商q1(x)及余式-f2(x)，一般地有fk-1(x)=fk(x)qk(x)－fk+1(x)，(k=1，2，…，m)，直到fm+1(x)≡0为止，得到m+1个多项式序列 {f0(x)，f1(x)，…，fm(x)}，称为以f0及f1为基的斯图姆序列，当x=a时，{f0(a)，f1(a)，…，fm(a)}是一个数列。

若其中两个相邻数符号相反就称为一次变号，记此数列变号次数为Va，若f(a)≠0，f(b)≠0，且数列{f0(b)，f1(b)，…，fm(b)}的变号次数为Vb，则f(x)=0在[a，b]内共有Va-Vb个不相同的实根，设最后非零函数fm(x)没有实根，则f(x)=0的实根都是单根，若fm(x)=0有实根，则这些根都是f(x)=0的重根，其重数为fm(x)=0内的重数加1，这就是斯图姆定理的内容。

当a=-∞，b=+∞时，则得f(x)=0实根个数；当(a，b)内只有一个根且b-a很小，则可解决实根的隔离问题。