泰勒公式

在学习导数和微分概念时已知，如果函数f在    处可导，则有

即在点   附近，用一次多项式   逼近函数    ，其误差为   的高阶无穷小量。然而，在很多场合下，取一次多项式逼近是不够的，往往需要二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为   ，其中，n为多项式的次数。

为此，我们考察任一n次多项式

逐次求它在点  处的导数，得到：

对于一般函数f ，设它在点  存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式

称为函数f在点  处的泰勒多项式

泰勒定理

若函数f 在[a,b]上存在直至n阶的连续导数，在(a,b)内存在n+1阶导函数，则对于任意给定的   ，至少存在一点  ，使得

麦克劳林公式

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

(6) 

近似计算（示例）

计算 e 的值，使其误差不超过  。

分析：

其中，  

故由  

当n=9 时，便有

从而略去  而求得e 得近似值为