多项式简介

F 上的一个 n 元多项式   称为对称的如果任意交换两个变元均不改变该多项式，即对于任意   有  。

两个 n 元对称多项式的和、差，积仍是对称多项式。但对称多项式的因式不一定是对称的。

下面的对称多项式称为初等对称多项式 (elementary symmetric polynomial)：

显然，  是 s 次齐次多项式。 

举例

例一

分解因式 

分析 这是一个二元对称式，二元对称式的基本对称式是   任何二元对称多项式都可用    表示，如  ，二元对称多项式的分解方法之一是：先将其用   表示，再行分解.

解 

∵ 

∴原式 

例二

分解因式 

此题中若将式中的   换成   换成   换成   ，即为 ，原式不变，这类多项式称为关于   的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号   如对一元多项式   可记作   即表示当   时多项式的值，如  时多项式   的值为   ，当x=2时多项式 式 的值为