卡尔丹公式

卡尔丹公式法

特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。

卡尔丹公式

X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；

X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；

X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，

其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；

Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

卡尔丹判别法

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

其他方法

除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下：

因式分解法

因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程x^3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

一种换元法

对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z-p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得：w^2-p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。

导数求解法

利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。

如f(x）=x^3+x+1,移项得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1,

y1的导数y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)<0的公式，无限逼近，求得较精确的解。

盛金公式法

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。