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}
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\begin{document}
	% 插入图片
	\includegraphics[width=0.43\textwidth]{嘉应学院图片.png}
	\vspace{3cm}
	\begin{center}
		{\fontsize{50}{1}\selectfont \bf 本科课程教案}\\[30pt]
		{\fontsize{26}{20}\selectfont  2024 ～ 2025 学年第二学期}
	\end{center}
	\vspace{1cm}
	
	\begin{center}
		{\Large\begin{tabular}{>{\bfseries}lp{7cm}<{\centering}}
				\makebox[4cm][s]{课程名称：} 	 & \makebox[2.5cm][s]{近世代数} \\[-1pt]\cline{2-2} \\[-12pt]
				\makebox[4cm][s]{授课班级：} 	 & \makebox[2.5cm][s]{数学2301-2304班} \\[-1pt] \cline{2-2} \\[-12pt]
				\makebox[4cm][s]{教材名称：} 	 & \makebox[6cm][s]{近世代数} \\[-1pt] \cline{2-2} \\[-12pt]
				\makebox[4cm][s]{学\hspace{0.48cm}院\hspace{0.2cm}（中心）：} 	 & \makebox[2.5cm][s]{数学学院} \\[-1pt] \cline{2-2} \\[-12pt]
				\makebox[4cm][s]{系\hspace{0.2cm}（教\hspace{0.2cm}研\hspace{0.2cm}室）：} 	 & \makebox[4.5cm][s]{代数几何教研室}  \\[-1pt] \cline{2-2} \\[-12pt]
				\makebox[4cm][s]{任课教师：} 	 & \makebox[2cm][s]{张纬民} \\[-1pt] \cline{2-2} \\[-12pt]
				\makebox[4cm][s]{职称职务：} 	 & \makebox[1.3cm][s]{   } \\[-1pt] \cline{2-2} \\[-12pt] 
		\end{tabular}}
	\end{center}
	
	\vspace{3cm}
	\begin{center}
		{\bf\Large  2025年  4月}
	\end{center}
	\thispagestyle{empty} % 将当前页码设为空
	
	\clearpage
	\setcounter{page}{1} % 页码重新计数
	\begin{center}
		{\LARGE\bf 教~案（总体部分）}
	\end{center}
	\vspace{-0.4cm}
	\begin{longtblr}{
			width = 0.84\textwidth,
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			},
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			vline{1,Z} = {2pt}, % 首尾竖线加粗
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			rowsep = 4pt,       % 调整行高（替代\arraystretch）
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		}
		课程名称 & \SetCell[c=3]{c} 近世代数 & & & 总学时：68 \\
		课程类别 & 必修 & \bf{学分} & 3学分 
		& \SetCell[r=2]{m}{讲授：\ful[1cm]{66}学时\par 实验：\ful[1cm]{2}学时\par 实习：\ful[1cm]{0}学时} \\\cline{1-4}
		授课老师 & 张纬民 & \bf{职称} & 副教授 & \\
		授课对象 & \SetCell[c=4]{l} 数学2301-2304共4个班 \\
		先修课程 & \SetCell[c=4]{l} 高等代数、数学分析、解析几何 \\
		\SetCell[c=5]{c} \bf{课程说明}\\
		教学目的要求 & \SetCell[c=4]{c} \begin{minipage}[c]{0.85\textwidth}
			\vspace{0.15cm}《近世代数》也称为《抽象代数》，是数学专业的一门重要基础课程。以下是关于这门课程的教学目的和要求：\par
			教学目的:\par
1、知识传授：使学生系统地掌握近世代数的基本概念、基本理论和基本方法，包括群、环、域等代数结构的定义、性质和相关定理。让学生理解这些抽象概念如何从具体的数学对象和实际问题中抽象出来，为进一步学习数学的其他分支（如拓扑学、泛函分析等）以及相关学科（如物理学、计算机科学等）打下坚实的代数基础。\par
2、能力培养：培养学生的抽象思维能力，使学生能够从具体的数学实例中提炼出抽象的数学概念和结构；提高逻辑推理能力，通过对定理的证明和推导，让学生学会严谨的逻辑论证方法；增强学生的数学表达能力，使学生能够准确地用数学语言描述问题、证明结论和进行交流。\par
3、数学素养提升：通过学习近世代数，让学生体会数学的内在统一性和深刻性，感受数学的美感和魅力，培养学生对数学的兴趣和热爱。同时，培养学生的创新意识和探索精神，使学生能够运用所学知识解决一些具有一定难度的数学问题和实际应用问题。\par
教学要求:\par
1、概念理解：要求学生准确理解群、环、域等基本代数结构的定义，包括群的封闭性、结合律、单位元、逆元，环的加法和乘法运算性质，域的乘法可逆性等。能够区分不同代数结构之间的异同，并能举例说明各种代数结构的具体实例。\par
2、定理掌握：深入掌握近世代数中的重要定理，如拉格朗日定理、同态基本定理等。不仅要记住定理的内容，还要理解定理的证明思路和方法，能够运用定理解决相关的数学问题。例如，利用拉格朗日定理计算群的子群阶数，利用同态基本定理判断群之间的同构关系。\par
\vspace{0.01cm}
		\end{minipage} \\
    教学目的要求 & \SetCell[c=4]{c} \begin{minipage}[c]{0.85\textwidth}
3、方法运用：熟练掌握近世代数中的基本方法，如陪集分解、商群构造、理想的生成等。能够运用这些方法分析和解决代数结构中的问题，如判断一个子集是否为子群、环的理想等。\par
4、证明能力：具备较强的证明能力，能够根据所学的定义、定理和方法，对给定的命题进行严谨的证明。在证明过程中，要能够清晰地阐述自己的思路，合理运用逻辑推理规则，使证明过程完整、准确、条理清晰。\par
5、应用能力：能够将近世代数的知识应用到实际问题中，如在编码理论中利用群和环的性质进行纠错码的构造和分析，在密码学中利用有限域的运算性质设计加密算法等。了解近世代数在其他学科领域中的应用，拓宽学生的知识面和视野。\par
6、自主学习：鼓励学生进行自主学习和研究，通过阅读相关的数学文献和资料，加深对课程内容的理解和掌握。培养学生独立思考和解决问题的能力，提高学生的学习主动性和积极性。\par
\vspace{0.1cm}
		\end{minipage} \\
		教学内容和重点及难点
		& \SetCell[c=4]{c} \begin{minipage}[c]{0.85\textwidth}
			\vspace{0.1cm}【教学内容】\par
			1. 基本概念： \par 
			- 集合的定义、表示方法、子集、交集、并集、补集等概念；映射的定义、分类（单射、满射、双射）；运算的定义（二元运算）及其性
              质（封闭性、结合律、交换律等）；等价关系的定义（自反性、对称性、传递性）及等价类、商集的概念。   \par  
			2. 群：  \par
			- 群的定义（群的四个条件：封闭性、结合律、单位元、逆元），有限群、无限群、交换群（阿贝尔群）的概念；子群的定义及判定定理，陪
              集的定义及性质，拉格朗日定理；正规子群的定义、性质，商群的构造；群同态的定义（保持运算的映射）、同态核、群同态基本定理；循环群的定义、分类及生成元的性质。 \par
			3. 环与域：  \par
			- 环的定义（环的加法群、乘法半群及乘法对加法的分配律），整环、除环、域的定义及相互关系；子环、理想的定义及判定，商环的构
              造；环同态的定义、环同态基本定理；多项式环的定义及性质，有限域的一些基本概念。  \par
             \vspace{0.1cm}【教学重点】\par 
             1.基本概念：\par
             深刻理解集合、映射、运算、等价关系等基本概念，这是后续学习群、环、域等代数结构的基础。例如，等价关系的准确理解对于理解商集以及后续商群、商环的构造至关重要。\par
             2.群： \par
             群的定义及基本性质，熟练掌握子群的判定方法；拉格朗日定理及其应用，能够利用该定理解决关于群和子群阶数的问题；群同态基本定理，它是联系不同群结构之间的桥梁，在群的研究中具有核心地位；循环群的结构和性质，作为一类重要的特殊群，是理解其他群结构的基础。 \par  
			\vspace{0.1cm}
		\end{minipage}
		\\ 
			教学内容和重点及难点
		& \SetCell[c=4]{c} \begin{minipage}[c]{0.85\textwidth} 
			-3. 环与域：\par
             环的定义和各类环（整环、除环、域）的区别与联系；理想的概念和性质，理想是构造商环的关键；环同态基本定理，类似于群同态基本定理，在环的研究中起着重要作用；多项式环的基本运算和性质，它是环的一个重要具体实例，并且在代数和数论等领域有广泛应用. \par  
			【教学难点】\par
			1. 基本概念的抽象性：\par 
               集合、映射、等价关系等概念虽然在之前的数学学习中有一定接触，但这里的定义更加抽象和严格，学生需要时间来适应这种抽象的思维方式。例如，等价类的概念对于初学者来说可能比较难以理解其本质和作用。 \par
			2. 群论部分： \par
			- 陪集的概念及陪集分解的理解，陪集是一个相对抽象的概念，学生可能难以直观地把握其几何或代数意义；正规子群的判定和理解，正规子
              群的条件（对于群G的子群N，gN=Ng对任意g∈G成立）不像子群判定那么直接，需要深入分析和大量练习；群同态基本定理的证明，该定理的证明过程涉及到多个概念和技巧的综合运用，对学生的逻辑推理能力要求较高。  \par
			3.环与域部分：  \par
			- 理想与子环的区别和联系，学生容易混淆这两个概念，需要通过大量实例来加深理解；商环的构造，商环是在商群的基础上进一步构建
              的，其构造过程更加复杂，涉及到环的加法和乘法运算以及理想的性质；多项式环中一些定理的证明，如多项式环的整除性质等，需要学生具备较强的代数运算和推理能力. \par 
			\vspace{0.1cm}
		\end{minipage}
		\\ 
		教材和主要参考资料
		& \SetCell[c=4]{c} \begin{minipage}[c]{0.85\textwidth}
			\vspace{0.1cm}【教材】\par
			《近世代数》（第三版，韩士安、林磊编著），科学出版社，2024.9 \par
			【参考资料】\par
			 1、代数学引论 （第三版）聂灵沼，丁石孙. 高等教育出版社，2021.6\par
             2、近世代数初步 (第三版) 石生明. 高等教育出版社，2022.6\par
             3、近世代数基础（第三版） 张禾瑞. 高等教育出版社，2024.8
			\vspace{0.1cm}
		\end{minipage}
	\end{longtblr}
	注：课程类别：通识课程（必修、选修）、学科基础课程、专业课程（必修、选修、实践实训等）、职业课程（必修、选修），具体课程类别请参见专业人才培养方案。

	
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	% 第二章第2节
	\clearpage
    \setcounter{page}{1} % 页码重新计数
	\begin{center}
		   {\LARGE\bf\ful[5cm]{近世代数}课程教案}
	\end{center}
	\vspace{-0.4cm}
	\begin{longtblr}{
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		}
	 \SetCell[c=4]{l}{\bf 授课题目（教学章、节或主题）：}第二章 §2.2 正规子群\\
	 \bf{授课时间} & 第8周第一二节 & \bf{教学器材与工具} & PPT、学习通，课本《近世代数》（第三版）、智慧黑板\\
	  \bf{授课类型} &\SetCell[c=3]{l}理论课\checkicon 讨论课\squareicon 实验课\squareicon 习题课\squareicon 全英课\squareicon 其他\squareicon\\
	  \SetCell[c=4]{c} \bf{一、教学目的、要求}\\
	  \SetCell[c=4]{c}
	  \begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
	  	\vspace{0.15cm}
	  	1. 理解正规子群的三种等价定义\\
        2. 掌握正规子群的判定方法\\
        3. 能够构造典型群的商群\\
        4. 理解正规子群在群同态中的作用
	  \end{minipage}\vspace{0.12cm} \\
  	\SetCell[c=4]{c} \bf{二、教学重点、难点}\\
  	\SetCell[c=4]{c}
  	\begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
  		\vspace{0.15cm}
  		\textbf{重点}：\\
     1. 正规子群的等价条件（共轭不变性）\\
2. 商群的定义与运算\\
\textbf{难点}：\\
1. 正规子群与群同态核的关系\\
2. 非交换群中正规子群的判定
  	\end{minipage}\vspace{0.3cm} \\
	\SetCell[c=4]{c} \bf{三、	教学基本内容}\\
	\SetCell[c=4]{c}
	\begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
		\vspace{0.15cm}
		1. \textbf{定义与等价条件}：\\
\quad - 定义：$\forall g\in G, gH=Hg$\\
\quad - 等价条件：$\forall g\in G, gHg^{-1}\subseteq H$\\[5pt]
2. \textbf{判定方法}：\\
\quad - 指数为2的子群必正规\\
\quad - 交换群的所有子群都正规\\[5pt]
3. \textbf{商群构造}：\\
\quad - $G/H = \{aH \mid a\in G\}$\\
\quad - 运算：$(aH)(bH)=abH$\\[5pt]
4. \textbf{典型例子}：\\
\quad - $A_n$是$S_n$的正规子群\\
\quad - $SL(n)$是$GL(n)$的正规子群
	\end{minipage}\vspace{1.3cm} \\

	\SetCell[c=4]{c} \bf{四、教学过程设计}\\
	\SetCell[c=4]{c}
	\begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
		\vspace{0.15cm}
		\textbf{第一课时}：\\
1. 导入（10'）：通过陪集运算问题引出正规性\\
2. 讲解（20'）：三种定义的等价性证明\\
3. 练习（15'）：判断$D_4$中子群是否正规\\[5pt]
\textbf{第二课时}：\\
1. 深化（15'）：正规子群与群同态核的关系\\
2. 应用（20'）：构造$S_3/A_3$商群\\
3. 总结（10'）：绘制概念关系图
	\end{minipage}\vspace{0.2cm} \\

	\SetCell[c=4]{c} \bf{五、教学方法、手段}\\
	\SetCell[c=4]{c}
	\begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
		\vspace{0.15cm}
		1. 类比教学法（对比正规/非正规子群）\\
        2. 探究式学习（发现等价条件）\\
        3. 数字化教学（智慧黑板演示商群运算）
	\end{minipage}\vspace{0.3cm} \\

	\SetCell[c=4]{c} \bf{六、作业、讨论题、思考题}\\
	\SetCell[c=4]{c}
	\begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
		\vspace{0.15cm}
		1. 基础：证明$H\unlhd G$当且仅当$\forall a,b\in G, aHbH=abH$\\
        2. 探究：研究$Q_8$（四元数群）的正规子群\\
        3. 应用：分析正规子群在群同构定理中的作用
	\end{minipage}\vspace{0.12cm} \\

	\SetCell[c=4]{c} \bf{七、参考资料（含参考书、文献等）}\\
	\SetCell[c=4]{c}
	\begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
		\vspace{0.15cm}
		【教材】\par
         《近世代数》（第三版）韩士安 ,林磊. 编著，科学出版社，2024.9\par
        【主要参考书】\par
        1、代数学引论 （第三版）聂灵沼，丁石孙. 高等教育出版社，2021.6\par
        2、近世代数初步 第三版 石生明. 高等教育出版社，2022.6\par
        3、近世代数基础（第三版） 张禾瑞. 高等教育出版社，2024.8

	\end{minipage}\vspace{0.12cm} \\

	\SetCell[c=4]{c} \bf{八、课后小结}\\
	\SetCell[c=4]{c}
	\begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
		\vspace{0.15cm}
		1. 学生掌握正规子群判定的基本方法\\
        2. 商群运算的直观理解需要加强
   \end{minipage}\vspace{0.12cm} \\
   
   \SetCell[c=4]{c} \bf{九、教学反思}\\
	\SetCell[c=4]{c}
	\begin{minipage}[c]{0.90\textwidth}
		\vspace{0.15cm}
		1. 可视化工具有效辅助抽象概念理解\\
        2. 需增加更多有限非交换群的案例
   \end{minipage}\vspace{0.12cm} \\
   
   \end{longtblr}

\end{document}