实变函数与泛函分析

张祖锦

目录

  • 2025版
    • ● 简明课件
    • ● 上课视频
  • 作业
    • ● 2020-2021-1作业及讲解
  • 0课程简介
    • ● 0.1自我介绍 Introduction
    • ● 0.2回忆 Riemann 积分-数学分析
    • ● 0.3构造 Lebesgue 积分-实变函数
    • ● 0.4学习实变函数与泛函分析的重要意义
    • ● 0.5实变函数与泛函分析的考核标准与学习方法
    • ● Lebesgue传记
  • 1集合
    • ● 1.1集合的表示
    • ● 1.2集合的运算
      • ● 1.2.1集族
      • ● 1.2.2并集 (union)
      • ● 1.2.3交集 (intersection)
      • ● 1.2.4交并运算律、De Morgan 律及其他
      • ● 1.2.5数学语言的集合表示
      • ● 1.2.6上、下极限集
      • ● 1.2.7单调集列
      • ● 1.2.8集合的直积 (Cartesian product)
    • ● 1.3对等与基数
      • ● 1.3.1对等的定义
      • ● 1.3.2对等的例子
      • ● 1.3.3对等的性质
      • ● 1.3.4基数的比较
    • ● 1.4可数集合
      • ● 1.4.1定义与初步例子
      • ● 1.4.2可数集的性质
      • ● 1.4.3进一步的例子
    • ● 1.5不可数集合 (uncountable set)
      • ● 1.5.1定义与例子
      • ● 1.5.2连续基数的性质
      • ● 1.5.3无最大基数定理
    • ● 本章小结
  • 2点集
    • ● 2.1度量空间, n 维欧氏空间
      • ● 2.1.1度量空间的定义与例子
      • ● 2.1.2邻域、极限及其它
    • ● 2.2聚点, 内点, 界点
      • ● 2.2.1点与集的第一类关系: 内点, 外点, 聚点
      • ● 2.2.2点与集的第二类关系: 聚点, 孤立点和外点
      • ● 2.2.3边界点要么是聚点, 要么是孤立点
      • ● 2.2.4聚点的等价刻画
      • ● 2.2.5闭包的等价刻画
      • ● 2.2.6边界与闭包的关系
      • ● 2.2.7闭包、开核的对偶关系
      • ● 2.2.8开核, 导集, 闭包保持集合的包含关系
      • ● 2.2.9导集与并运算可交换
      • ● 2.2.10导集, 边界不空的充分条件
    • ● 2.3开集, 闭集, 完备集
      • ● 2.3.1开集及其性质
      • ● 2.3.2闭集及其性质
      • ● 2.3.3开集、闭集的对偶性
      • ● 2.3.4紧集、自密集、完备集
    • ● 2.4直线上的开集, 闭集及完备集的构造
      • ● 2.4.1直线上的开集、闭集的构造
      • ● 2.4.2直线上完备集的构造
    • ● 2.5康托尔三分集
      • ● 2.5.1Cantor 三分集的构造
      • ● 2.5.2Cantor 三分集的性质
      • ● 2.5.3维数观点看 Cantor 集
    • ● 本章小结
  • 3测度论
    • ● 引言
    • ● 外测度 (outer measure)
    • ● 3.2可测集 (measurable set)
      • ● 3.2.1可测集的等价定义
      • ● 3.2.2可测集的性质1: 可测集的补, 可测集列的交与并
      • ● 3.2.3可测集的性质2: 可测集列的极限
    • ● 3.3可测集类
      • ● 3.3.1可测集的例子
      • ● 3.3.2可测集的构造
      • ● 3.3.3测度的内、外正规性
    • ● 本章小结
  • 4可测函数
    • ● 引言
    • ● 4.1可测函数及其性质
      • ● 4.1.1记号 (notations)
      • ● 4.1.2可测函数的定义及等价刻画
      • ● 4.1.3重要的可测函数类 I---连续函数类
      • ● 4.1.4重要的可测函数类 II---简单函数类
      • ● 4.1.5可测函数的四则运算
      • ● 4.1.6可测函数的极限运算
      • ● 4.1.7可测函数与简单函数的关系
      • ● 4.1.8几乎处处成立的内涵
    • ● 4.2叶戈罗夫定理
      • ● 4.2.1引言
      • ● 4.2.1Egrov 定理
      • ● 4.2.3Egrov 定理的推广
    • ● 4.3可测函数的构造
      • ● 4.3.1Lusin 定理
      • ● 4.3.2Lusin 定理的另一形式
      • ● 4.3.3可测集与可测函数的总结
    • ● 4.4依测度收敛
      • ● 4.4.1依测度收敛的定义
      • ● 4.4.2依测度收敛不能蕴含几乎处处收敛
      • ● 4.4.3几乎处处收敛不能蕴含依测度收敛
      • ● 4.4.4Riesz 定理 (依测度收敛函数列有一个子列几乎处处收敛)
      • ● 4.4.5Lebesgue 定理 (测度有限时, 几乎处处收敛蕴含依测度收敛)
      • ● 4.4.6依测度收敛的极限的唯一性 (在几乎处处意义下)
      • ● 4.4.7各种收敛态的关系总结
      • ● 4.4.8Riesz 定理的强化版本
    • ● 本章小结
  • 5积分论
    • ● 5.1黎曼积分的局限性, 勒贝格积分简介
      • ● 5.1.1Riemann 积分的局限性
      • ● 5.1.2Lebesgue 积分简介
    • ● 5.2非负简单函数的勒贝格积分
      • ● 5.2.1非负简单函数 Lebesgue 积分的定义与例子
      • ● 5.2.2非负简单函数 Lebesgue 积分的性质
    • ● 5.3非负可测函数的勒贝格积分
      • ● 5.3.1非负可测函数的 Lebesgue 积分的定义
      • ● 5.3.2非负可测函数 Lebesgue 积分的基本性质
      • ● 5.3.3非负可测函数 Lebesgue 积分的重要性质1: Levi 引理
      • ● 5.3.4非负可测函数 Lebesgue 积分的重要性质2: 逐项积分
      • ● 5.3.5非负可测函数 Lebesgue 积分的重要性质3: Fatou 引理
    • ● 5.4一般可测函数的勒贝格积分
      • ● 5.4.1一般可测函数 Lebesgue 积分的定义
      • ● 5.4.2一般可测函数 Lebesgue 积分的基本性质
      • ● 5.4.3一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质1:函数可积等价于其绝对值可积
      • ● 5.4.4一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质2:绝对连续性
      • ● 5.4.5一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质3:Lebesgue控制收敛及其推论
      • ● 5.4.6应用: Lebesgue 可积函数的连续函数逼近
    • ● 5.5黎曼积分和勒贝格积分
      • ● 5.5.1回忆 Riemann 积分
      • ● 5.5.2连续函数的振幅刻画
      • ● 5.5.3Riemann 可积函数的刻画
      • ● 5..5.4Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广
      • ● 5.5.5Lebesgue 积分是非负 Riemann 反常积分的推广
      • ● 5.5.6Lebesgue 积分不是 Riemann 反常积分的推广
    • ● 5.6勒贝格积分的几何意义, 富比尼定理
      • ● 5.6.1直积与截面
      • ● 5.6.2降维法求测度: Fubini 定理的前奏
      • ● 5.6.3非负可测函数积分的几何意义
      • ● 5.6.4Fubini 定理与累次积分
    • ● 本章小结
  • 6微分与不定积分
    • ● 6.0引言
    • ● 6.1Vitali 定理
    • ● 6.2单调函数的可微性
    • ● 6.3有界变差函数
    • ● 6.4不定积分
      • ● 6.4.1不定积分及其性质
      • ● 6.4.2绝对连续函数及其性质
      • ● 6.4.3积分与微分为互逆运算 (Lebesgue 意义下)
      • ● 6.4.4AC 函数的进一步刻画
    • ● 6.5斯蒂尔切斯积分
    • ● 6.6L-S 测度与积分
    • ● 本章小结
  • 7度量空间和赋范线性空间
    • ● 泛函分析 (functional analysis) 绪论
    • ● 7.1度量空间的进一步例子
      • ● 7.1.1度量空间, 离散度量空间
      • ● 7.1.2更多的度量空间
    • ● 7.2度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
      • ● 7.2.1度量空间中的极限
      • ● 7.2.2度量空间中点列收敛的等价刻画
      • ● 7.2..3度量空间中的稠密子集, 可分空间
    • ● 7.3连续映射
      • ● 7.3.1连续映射的定义
      • ● 7.3.2连续映射的三个等价刻画
    • ● 7.4柯西点列和完备度量空间
      • ● 7.4.1Cauchy 点列
      • ● 7.4.2完备度量空间
      • ● 7.4.3完备度量空间的例子
      • ● 7.4.4不是完备度量空间的例子
    • ● 7.5度量空间的完备化
      • ● 7.5.1序言, 保距映射, 等距同构
      • ● 7.5.2度量空间的完备化
    • ● 7.6压缩映射原理及其应用
      • ● 7.6.1压缩映射原理
      • ● 7.6.2压缩映射原理的应用
    • ● 7.7线性空间
      • ● 7.7.1线性空间
      • ● 7.7.2线性空间的例子
      • ● 7.7.3线性空间的相关概念
    • ● 7.8赋范线性空间和巴拿赫空间
      • ● 7.8.1赋范线性空间和巴拿赫 (Banach) 空间
      • ● 7.8.2Banach 空间的例子
      • ● 7.8.3有限维赋范线性空间
  • 8有界线性算子和连续线性泛函
    • ● 8.1有界线性算子和连续线性泛函
      • ● 8.1.1线性算子和线性泛函的定义
      • ● 8.1.2线性算子和线性泛函的例子
      • ● 8.1.3有界线性算子和连续线性泛函
      • ● 8.1.4有界线性算子和连续线性泛函的例子
    • ● 8.2有界线性算子空间和共轭空间
      • ● 8.2.1有界线性算子全体所成空间
      • ● 8.2.2共轭空间
    • ● 8.3有限秩算子
      • ● 8.3.1有限秩算子
      • ● 8.3.2有限秩算子全体是 Banach 代数的一个理想
      • ● 8.3.3商空间
      • ● 8.3.4商空间的例子
      • ● 8.3.5通过商空间将映射化为单射来处理
      • ● 8.3.6闭值域的一个充分条件
      • ● 8.3.7恒等算子的有限秩扰动不改变值域的闭性
  • 9内积空间和希尔伯特空间
    • ● 9.0引论
    • ● 9.1内积空间的基本概念
      • ● 9.1.1内积空间的定义
      • ● 9.1.2内积空间与赋范线性空间的联系
      • ● 9.1.3内积空间的例子
    • ● 9.2投影定理
      • ● 9.2.1引言
      • ● 9.2.2极小化向量定理
      • ● 9.2.3内积空间中的正交, 极小化向量的性质
      • ● 9.2.4线性空间中的代数补子空间 (直和)
      • ● 9.2.5内积空间中的正交补子空间
      • ● 9.2.6Hilbert 空间中的正交分解
    • ● 9.3希尔伯特空间中的规范正交基
      • ● 9.3.1引论
      • ● 9.3.2正交系
      • ● 9.3.3内积空间中的 Fourier 系数
      • ● 9.3.4内积空间中的 Bessel 不等式、Parseval 等式、Riemann-Lebesgue 引理
      • ● 9.3.5抽象空间中的级数论
      • ● 9.3.6内积空间中的规范正交系的完全性
      • ● 9.3.7Hilbert 空间中完全规范正交系的存在性、Hilbert 维数
    • ● 9.4希尔伯特空间上的连续线性泛函
      • ● 9.4.1Riesz 表示定理
      • ● 9.4.2Hilbert 空间中的共轭算子
    • ● 9.5自伴算子、酉算子和正规算子
      • ● 9.5.1引论
      • ● 9.5.2Hilbert 空间的自伴算子, 正规算子和酉算子
      • ● 9.5.3各算子间的关系
      • ● 9.5.4复内积空间中有界线性算子为零的充要条件
      • ● 9.5.5自伴算子的性质
      • ● 9.5.6酉算子的性质
      • ● 9.5.7正规算子的性质
  • Banach 空间中的基本定理
    • ● 本章主要讨论泛函分析的四大基本定理
    • ● 泛函延拓定理
    • ● $C[a,b]$ 的共轭空间
    • ● 共轭算子
    • ● 纲定理和一致有界性定理
    • ● 强收敛, 弱收敛和一致收敛
    • ● 逆算子定理
    • ● 闭图像定理
  • 作业及视频讲解
    • ● 1.1 集合的表示
    • ● 1.2 集合的运算
    • ● 1.3 对等与基数
    • ● 1.4 可数集合
    • ● 1.5 不可数集合
    • ● 2.1 度量空间,   n 维欧氏空间
    • ● 2.2 聚点, 内点, 完备集
    • ● 2.3 开集, 闭集, 完备集
    • ● 2.4 直线上的开集, 闭集及完备集的构造
    • ● 2.5 Cantor 三分集
    • ● 3.1 外测度
    • ● 3.2 可测集
    • ● 3.3 可测集类
    • ● 3.4 总复习题
    • ● 4.1 可测函数及其性质
    • ● 4.2 Egrov 定理
    • ● 4.3 可测函数的构造
    • ● 4.4 依测度收敛
    • ● 5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分
    • ● 5.4 一般可测函数的 Lebesgue 积分
    • ● 5.5 Riemann 积分和 Lebesgue 积分
    • ● 5.6 Lebesgue 积分的几何意义, Fubini 定理
    • ● 6.1 Vitali 定理 6.2 单调函数的可微性 6.3 有界变差函数 6.4 不定积分
    • ● 7.1 度量空间的进一步例子
    • ● 7.2 度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
    • ● 7.3 连续映射
    • ● 7.4 柯西 (Cauchy) 点列和完备度量空间
    • ● 7.5 度量空间的完备化
    • ● 7.6 压缩映射原理及其应用
    • ● 7.7 线性空间
    • ● 7.8 赋范线性空间和巴拿赫 (Banach) 空间
    • ● 8.1 有界线性算子和连续线性泛函
    • ● 8.2 有界线性算子空间和共轭空间
    • ● 8.3 有限秩算子
    • ● 9.1 内积空间的基本概念
    • ● 9.2 投影定理
    • ● 9.3 希尔伯特空间中的规范正交基
    • ● 9.4 希尔伯特空间上的连续线性泛函
    • ● 9.5 自伴算子、酉算子和正常算子
0.2回忆 Riemann 积分-数学分析

回忆 Riemann 积分-数学分析

先看看 Riemann 长啥样.

Riemann (18260917-18660720, Germany)

小作业: 介绍下黎曼.  设    是    上的有界函数, 若对

都有极限

存在且收敛于同一个值   , 则称    在    上 Riemann 可积.  思想是啥?  

它有如下 缺陷 flaw:

1、 被积函数应 差不多 连续 (第 5 章我们将详细刻画, 应在除去一个 长度为 0 的集合外连续), 而    上的 Dirichlet 函数

我们将在实变函数中将可积函数类扩大, 让更多的函数可积分, 更多函数的下方图形可求面积呢.  小作业: 介绍下狄利克雷.  小作业: 严格证明 Dirichlet 函数不是 Riemann 可积.

2、 极限与积分交换次序的要求太严格 (一致收敛 是充分条件), 对如下 非一致收敛

仍然有

我们将在实变函数中将极限与积分交换次序的要求降低到简单的验算.   小作业: 再给出一个不一致收敛的函数列, 使得积分与极限仍可交换次序. 并证明之.

3、 微积分基本定理的局限性: Newton-Leibnitz 公式 设    在    上连续, 在    内可导, 且   , 则

实变函数证明001 |

资料/微信群  

目录见资源  但是    这一要求也太严格. 因为意大利的 Volterra 于 1881 年构造了一个函数   , 满足    有界, 但   .  我们将在实变函数中把 Newton-Leibnitz 公式成立的函数要求降到最低.  小作业: 翻阅资料, 这个导函数有界, 但导函数不是黎曼可积的例子是啥. 并证明之.