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实变函数与泛函分析

张祖锦

2025版
- ● 简明课件
- ● 上课视频
作业
- ● 2020-2021-1作业及讲解
0课程简介
- ● 0.1自我介绍 Introduction
- ● 0.2回忆 Riemann 积分-数学分析
- ● 0.3构造 Lebesgue 积分-实变函数
- ● 0.4学习实变函数与泛函分析的重要意义
- ● 0.5实变函数与泛函分析的考核标准与学习方法
- ● Lebesgue传记
1集合
- ● 1.1集合的表示
- ● 1.2集合的运算
  - ● 1.2.1集族
  - ● 1.2.2并集 (union)
  - ● 1.2.3交集 (intersection)
  - ● 1.2.4交并运算律、De Morgan 律及其他
  - ● 1.2.5数学语言的集合表示
  - ● 1.2.6上、下极限集
  - ● 1.2.7单调集列
  - ● 1.2.8集合的直积 (Cartesian product)
- ● 1.3对等与基数
  - ● 1.3.1对等的定义
  - ● 1.3.2对等的例子
  - ● 1.3.3对等的性质
  - ● 1.3.4基数的比较
- ● 1.4可数集合
  - ● 1.4.1定义与初步例子
  - ● 1.4.2可数集的性质
  - ● 1.4.3进一步的例子
- ● 1.5不可数集合 (uncountable set)
  - ● 1.5.1定义与例子
  - ● 1.5.2连续基数的性质
  - ● 1.5.3无最大基数定理
- ● 本章小结
2点集
- ● 2.1度量空间, n 维欧氏空间
  - ● 2.1.1度量空间的定义与例子
  - ● 2.1.2邻域、极限及其它
- ● 2.2聚点, 内点, 界点
  - ● 2.2.1点与集的第一类关系: 内点, 外点, 聚点
  - ● 2.2.2点与集的第二类关系: 聚点, 孤立点和外点
  - ● 2.2.3边界点要么是聚点, 要么是孤立点
  - ● 2.2.4聚点的等价刻画
  - ● 2.2.5闭包的等价刻画
  - ● 2.2.6边界与闭包的关系
  - ● 2.2.7闭包、开核的对偶关系
  - ● 2.2.8开核, 导集, 闭包保持集合的包含关系
  - ● 2.2.9导集与并运算可交换
  - ● 2.2.10导集, 边界不空的充分条件
- ● 2.3开集, 闭集, 完备集
  - ● 2.3.1开集及其性质
  - ● 2.3.2闭集及其性质
  - ● 2.3.3开集、闭集的对偶性
  - ● 2.3.4紧集、自密集、完备集
- ● 2.4直线上的开集, 闭集及完备集的构造
  - ● 2.4.1直线上的开集、闭集的构造
  - ● 2.4.2直线上完备集的构造
- ● 2.5康托尔三分集
  - ● 2.5.1Cantor 三分集的构造
  - ● 2.5.2Cantor 三分集的性质
  - ● 2.5.3维数观点看 Cantor 集
- ● 本章小结
3测度论
- ● 引言
- ● 外测度 (outer measure)
- ● 3.2可测集 (measurable set)
  - ● 3.2.1可测集的等价定义
  - ● 3.2.2可测集的性质1: 可测集的补, 可测集列的交与并
  - ● 3.2.3可测集的性质2: 可测集列的极限
- ● 3.3可测集类
  - ● 3.3.1可测集的例子
  - ● 3.3.2可测集的构造
  - ● 3.3.3测度的内、外正规性
- ● 本章小结
4可测函数
- ● 引言
- ● 4.1可测函数及其性质
  - ● 4.1.1记号 (notations)
  - ● 4.1.2可测函数的定义及等价刻画
  - ● 4.1.3重要的可测函数类 I---连续函数类
  - ● 4.1.4重要的可测函数类 II---简单函数类
  - ● 4.1.5可测函数的四则运算
  - ● 4.1.6可测函数的极限运算
  - ● 4.1.7可测函数与简单函数的关系
  - ● 4.1.8几乎处处成立的内涵
- ● 4.2叶戈罗夫定理
  - ● 4.2.1引言
  - ● 4.2.1Egrov 定理
  - ● 4.2.3Egrov 定理的推广
- ● 4.3可测函数的构造
  - ● 4.3.1Lusin 定理
  - ● 4.3.2Lusin 定理的另一形式
  - ● 4.3.3可测集与可测函数的总结
- ● 4.4依测度收敛
  - ● 4.4.1依测度收敛的定义
  - ● 4.4.2依测度收敛不能蕴含几乎处处收敛
  - ● 4.4.3几乎处处收敛不能蕴含依测度收敛
  - ● 4.4.4Riesz 定理 (依测度收敛函数列有一个子列几乎处处收敛)
  - ● 4.4.5Lebesgue 定理 (测度有限时, 几乎处处收敛蕴含依测度收敛)
  - ● 4.4.6依测度收敛的极限的唯一性 (在几乎处处意义下)
  - ● 4.4.7各种收敛态的关系总结
  - ● 4.4.8Riesz 定理的强化版本
- ● 本章小结
5积分论
- ● 5.1黎曼积分的局限性, 勒贝格积分简介
  - ● 5.1.1Riemann 积分的局限性
  - ● 5.1.2Lebesgue 积分简介
- ● 5.2非负简单函数的勒贝格积分
  - ● 5.2.1非负简单函数 Lebesgue 积分的定义与例子
  - ● 5.2.2非负简单函数 Lebesgue 积分的性质
- ● 5.3非负可测函数的勒贝格积分
  - ● 5.3.1非负可测函数的 Lebesgue 积分的定义
  - ● 5.3.2非负可测函数 Lebesgue 积分的基本性质
  - ● 5.3.3非负可测函数 Lebesgue 积分的重要性质1: Levi 引理
  - ● 5.3.4非负可测函数 Lebesgue 积分的重要性质2: 逐项积分
  - ● 5.3.5非负可测函数 Lebesgue 积分的重要性质3: Fatou 引理
- ● 5.4一般可测函数的勒贝格积分
  - ● 5.4.1一般可测函数 Lebesgue 积分的定义
  - ● 5.4.2一般可测函数 Lebesgue 积分的基本性质
  - ● 5.4.3一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质1:函数可积等价于其绝对值可积
  - ● 5.4.4一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质2:绝对连续性
  - ● 5.4.5一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质3:Lebesgue控制收敛及其推论
  - ● 5.4.6应用: Lebesgue 可积函数的连续函数逼近
- ● 5.5黎曼积分和勒贝格积分
  - ● 5.5.1回忆 Riemann 积分
  - ● 5.5.2连续函数的振幅刻画
  - ● 5.5.3Riemann 可积函数的刻画
  - ● 5..5.4Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广
  - ● 5.5.5Lebesgue 积分是非负 Riemann 反常积分的推广
  - ● 5.5.6Lebesgue 积分不是 Riemann 反常积分的推广
- ● 5.6勒贝格积分的几何意义, 富比尼定理
  - ● 5.6.1直积与截面
  - ● 5.6.2降维法求测度: Fubini 定理的前奏
  - ● 5.6.3非负可测函数积分的几何意义
  - ● 5.6.4Fubini 定理与累次积分
- ● 本章小结
6微分与不定积分
- ● 6.0引言
- ● 6.1Vitali 定理
- ● 6.2单调函数的可微性
- ● 6.3有界变差函数
- ● 6.4不定积分
  - ● 6.4.1不定积分及其性质
  - ● 6.4.2绝对连续函数及其性质
  - ● 6.4.3积分与微分为互逆运算 (Lebesgue 意义下)
  - ● 6.4.4AC 函数的进一步刻画
- ● 6.5斯蒂尔切斯积分
- ● 6.6L-S 测度与积分
- ● 本章小结
7度量空间和赋范线性空间
- ● 泛函分析 (functional analysis) 绪论
- ● 7.1度量空间的进一步例子
  - ● 7.1.1度量空间, 离散度量空间
  - ● 7.1.2更多的度量空间
- ● 7.2度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
  - ● 7.2.1度量空间中的极限
  - ● 7.2.2度量空间中点列收敛的等价刻画
  - ● 7.2..3度量空间中的稠密子集, 可分空间
- ● 7.3连续映射
  - ● 7.3.1连续映射的定义
  - ● 7.3.2连续映射的三个等价刻画
- ● 7.4柯西点列和完备度量空间
  - ● 7.4.1Cauchy 点列
  - ● 7.4.2完备度量空间
  - ● 7.4.3完备度量空间的例子
  - ● 7.4.4不是完备度量空间的例子
- ● 7.5度量空间的完备化
  - ● 7.5.1序言, 保距映射, 等距同构
  - ● 7.5.2度量空间的完备化
- ● 7.6压缩映射原理及其应用
  - ● 7.6.1压缩映射原理
  - ● 7.6.2压缩映射原理的应用
- ● 7.7线性空间
  - ● 7.7.1线性空间
  - ● 7.7.2线性空间的例子
  - ● 7.7.3线性空间的相关概念
- ● 7.8赋范线性空间和巴拿赫空间
  - ● 7.8.1赋范线性空间和巴拿赫 (Banach) 空间
  - ● 7.8.2Banach 空间的例子
  - ● 7.8.3有限维赋范线性空间
8有界线性算子和连续线性泛函
- ● 8.1有界线性算子和连续线性泛函
  - ● 8.1.1线性算子和线性泛函的定义
  - ● 8.1.2线性算子和线性泛函的例子
  - ● 8.1.3有界线性算子和连续线性泛函
  - ● 8.1.4有界线性算子和连续线性泛函的例子
- ● 8.2有界线性算子空间和共轭空间
  - ● 8.2.1有界线性算子全体所成空间
  - ● 8.2.2共轭空间
- ● 8.3有限秩算子
  - ● 8.3.1有限秩算子
  - ● 8.3.2有限秩算子全体是 Banach 代数的一个理想
  - ● 8.3.3商空间
  - ● 8.3.4商空间的例子
  - ● 8.3.5通过商空间将映射化为单射来处理
  - ● 8.3.6闭值域的一个充分条件
  - ● 8.3.7恒等算子的有限秩扰动不改变值域的闭性
9内积空间和希尔伯特空间
- ● 9.0引论
- ● 9.1内积空间的基本概念
  - ● 9.1.1内积空间的定义
  - ● 9.1.2内积空间与赋范线性空间的联系
  - ● 9.1.3内积空间的例子
- ● 9.2投影定理
  - ● 9.2.1引言
  - ● 9.2.2极小化向量定理
  - ● 9.2.3内积空间中的正交, 极小化向量的性质
  - ● 9.2.4线性空间中的代数补子空间 (直和)
  - ● 9.2.5内积空间中的正交补子空间
  - ● 9.2.6Hilbert 空间中的正交分解
- ● 9.3希尔伯特空间中的规范正交基
  - ● 9.3.1引论
  - ● 9.3.2正交系
  - ● 9.3.3内积空间中的 Fourier 系数
  - ● 9.3.4内积空间中的 Bessel 不等式、Parseval 等式、Riemann-Lebesgue 引理
  - ● 9.3.5抽象空间中的级数论
  - ● 9.3.6内积空间中的规范正交系的完全性
  - ● 9.3.7Hilbert 空间中完全规范正交系的存在性、Hilbert 维数
- ● 9.4希尔伯特空间上的连续线性泛函
  - ● 9.4.1Riesz 表示定理
  - ● 9.4.2Hilbert 空间中的共轭算子
- ● 9.5自伴算子、酉算子和正规算子
  - ● 9.5.1引论
  - ● 9.5.2Hilbert 空间的自伴算子, 正规算子和酉算子
  - ● 9.5.3各算子间的关系
  - ● 9.5.4复内积空间中有界线性算子为零的充要条件
  - ● 9.5.5自伴算子的性质
  - ● 9.5.6酉算子的性质
  - ● 9.5.7正规算子的性质
Banach 空间中的基本定理
- ● 本章主要讨论泛函分析的四大基本定理
- ● 泛函延拓定理
- ● $C[a,b]$ 的共轭空间
- ● 共轭算子
- ● 纲定理和一致有界性定理
- ● 强收敛, 弱收敛和一致收敛
- ● 逆算子定理
- ● 闭图像定理
作业及视频讲解
- ● 1.1 集合的表示
- ● 1.2 集合的运算
- ● 1.3 对等与基数
- ● 1.4 可数集合
- ● 1.5 不可数集合
- ● 2.1 度量空间, n 维欧氏空间
- ● 2.2 聚点, 内点, 完备集
- ● 2.3 开集, 闭集, 完备集
- ● 2.4 直线上的开集, 闭集及完备集的构造
- ● 2.5 Cantor 三分集
- ● 3.1 外测度
- ● 3.2 可测集
- ● 3.3 可测集类
- ● 3.4 总复习题
- ● 4.1 可测函数及其性质
- ● 4.2 Egrov 定理
- ● 4.3 可测函数的构造
- ● 4.4 依测度收敛
- ● 5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分
- ● 5.4 一般可测函数的 Lebesgue 积分
- ● 5.5 Riemann 积分和 Lebesgue 积分
- ● 5.6 Lebesgue 积分的几何意义, Fubini 定理
- ● 6.1 Vitali 定理 6.2 单调函数的可微性 6.3 有界变差函数 6.4 不定积分
- ● 7.1 度量空间的进一步例子
- ● 7.2 度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
- ● 7.3 连续映射
- ● 7.4 柯西 (Cauchy) 点列和完备度量空间
- ● 7.5 度量空间的完备化
- ● 7.6 压缩映射原理及其应用
- ● 7.7 线性空间
- ● 7.8 赋范线性空间和巴拿赫 (Banach) 空间
- ● 8.1 有界线性算子和连续线性泛函
- ● 8.2 有界线性算子空间和共轭空间
- ● 8.3 有限秩算子
- ● 9.1 内积空间的基本概念
- ● 9.2 投影定理
- ● 9.3 希尔伯特空间中的规范正交基
- ● 9.4 希尔伯特空间上的连续线性泛函
- ● 9.5 自伴算子、酉算子和正常算子