张禾瑞近世代数基础学习笔记及习题参考解答

张祖锦

目录

  • 1 基本概念
    • 1.1 集合
    • 1.2 映射
    • 1.3 代数运算
    • 1.4 结合律
    • 1.5 交换律
    • 1.6 分配律
    • 1.7 一一映射、变换
    • 1.8 同态
    • 1.9 同构、自同构
    • 1.10 等价关系与集合的分类
  • 2 群论
    • 2.1 群的定义
    • 2.2 单位元、逆元、消去律
    • 2.3 有限群的另一定义
    • 2.4 群的同态
    • 2.5 变换群
    • 2.6 置换群
    • 2.7 循环群
    • 2.8 子群
    • 2.9 子群的陪集
    • 2.10 不变子群、商群
    • 2.11 同态与不变子群
  • 3 环与域
    • 3.1 加群、环的定义
    • 3.2 交换律、单位元、零因子、整环
    • 3.3 除环、域
    • 3.4 无零因子环的特征
    • 3.5 子环、环的同态
    • 3.6 多项式环
    • 3.7 理想
    • 3.8 剩余类环、同态与理想
    • 3.9 最大理想
    • 3.10 商域
  • 4 整环里的因子分解
    • 4.1 素元、唯一分解
    • 4.2 唯一分解环
    • 4.3 主理想环
    • 4.4 欧氏环
    • 4.5 多项式环的因子分解
    • 4.6 因子分解与多项式的根
  • 5 扩域
    • 5.1 扩域、素域
    • 5.2 单扩域
    • 5.3 代数扩域
    • 5.4 多项式的分裂域
    • 5.5 有限域
    • 5.6 可离扩域
  • 6 记号 及原书勘误
    • 6.1 内容
  • 7 考研试题参考解答
    • 7.1 北京师范大学1986年近世代数考研试题第1题
结合律

内容精讲

1、 设    是    的代数运算, 则对   ,  

都有定义, 但未必相等. 比如   ,    就是普通的减法, 则  

2、 若  

则称    满足结合律.

3、 定理. 假设一个集合    的代数运算    适合结合律, 那么对    的任一    个元   , 以任何加括号的方式算得的结果相等, 设为   , 而符号  

有意义, 定义为   .

资料/微信群/购买书籍/在线阅读  对    作数学归纳法. 当    时结论自然成立. 假设结论对元素个数    的元素算得的结果相等, 则对    个元素    及任一加括号的步骤   , 最后一步都是对两个元进行运算, 而由归纳假设,  

这就证明了对    个元素    及任一加括号的步骤   , 算的结果都一样. 归纳步证毕. 跟锦数学微信公众号, 张祖锦数学微信小程序宣.

习题参考解答

1、   .    是普通除法:   . 这个代数运算适合不适合结合律?

资料/微信群/购买书籍/在线阅读  由  

知    不适合结合律. 比如  

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2、   .  

这个代数运算适合不适合结合律?

资料/微信群/购买书籍/在线阅读  由  

知    不适合结合律. 比如  

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3、   . 由表  

所给的代数运算适合不适合结合律?

资料/微信群/购买书籍/在线阅读

(1)、 由运算表的第一行与表头的行相同, 第一列与表头的列相同知  

而   ,  

(2)、 为验证    适合结合律, 仅需再验证  

事实上,  

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