内容精讲

1、 设    有代数运算   ,    有代数运算   ,    满足  

则称    是 (对于代数运算    的) 同态映射. 若    还是满射, 则称    是同态满射, 简称满同态.

2、 考虑  

(1)、 例 1.  

是    到    的同态映射. 事实上,  

(2)、 例 2.  

是    到    的同态满射. 事实上, 显然    是满射. 再者,  

(3)、 例 3.  

不是    到    的同态! 因为  

3、 同态满射与结合律、交换律. 设  

是同态满射.

(1)、 若    适合结合律, 则    也适合结合律.

(2)、 若    适合交换律, 则    也适合交换律.

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(1)、 若    适合结合律, 则    也适合结合律. 事实上, 对   , 由    是满射知  

而  

(2)、 若    适合交换律, 则    也适合交换律. 事实上, 对   , 由    是满射知  

而  

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4、 同态满射与分配律. 设

(1)、    是集合    的代数运算,

(2)、    是集合    的代数运算,

(3)、    是关于    及    来说都是同态满射, 也即  

则

(1)、 若    适合第一分配律, 则    也适合第一分配律.

(2)、 若    适合第二分配律, 则    也适合第二分配律.

资料/微信群/购买书籍/在线阅读  只证 (1), 因为 (2) 可完全类似地证明. 对   , 由    是满射知  

而  

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习题参考解答

1、   ,    的代数运算为普通乘法. 以下映射是不是    到    的一个子集    的同态满射?

(1)、   ;

(2)、   ;

(3)、   ;

(4)、   .

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(1)、 对   , 令   , 则    是满射. 又由  

知    是同态满射.

(2)、 对   , 令   , 则    是满射. 又由  

知    不是同态满射.

(3)、 对   , 令   , 则    是满射. 又由  

知    是同态满射.

(4)、 对   , 令   , 则    是满射. 又由  

知    不是同态满射.

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2、 假定    和    对于代数运算    和    来说同态,    与    对于代数运算    和    来说同态. 证明,    和    对于代数运算    和    来说同态.

资料/微信群/购买书籍/在线阅读  设  

是同态满射,  

是同态满射. 令   , 则对   ,  

故    是同态映射. 再对   , 由    是满射知  

又由    是满射知  

于是  

这就证明了    是满射, 而是同态满射.    和    对于代数运算    和    来说同态. 跟锦数学微信公众号, 张祖锦数学微信小程序宣.